यदि एक वास्तविक संख्या y के लिए,[y] वह महत्तम | vedclass

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Question

(C) हम जानते हैं कि $x \in [\pi/2, 3\pi/2]$ के लिए,$\sin x$ का मान $-1$ से $1$ के बीच होता है,इसलिए $2\sin x$ का मान $-2$ से $2$ के बीच होता है।हम समा

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$-\frac{\pi}{2}$

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(C) हम जानते हैं कि $x \in [\pi/2, 3\pi/2]$ के लिए,$\sin x$ का मान $-1$ से $1$ के बीच होता है,इसलिए $2\sin x$ का मान $-2$ से $2$ के बीच होता है।हम समाकलन को उन बिंदुओं पर विभाजित करते हैं जहाँ $[2\sin x]$ अपना मान बदलता है:$I = \int_{\pi/2}^{3\pi/2} [2\sin x] \, dx$$= \int_{\pi/2}^{5\pi/6} [2\sin x] \, dx + \int_{5\pi/6}^{\pi} [2\sin x] \, dx + \int_{\pi}^{7\pi/6} [2\sin x] \, dx + \int_{7\pi/6}^{3\pi/2} [2\sin x] \, dx$अंतराल $[\pi/2, 5\pi/6]$ में,$1 \le 2\sin x अंतराल $[5\pi/6, \pi]$ में,$0 \le 2\sin x अंतराल $[\pi, 7\pi/6]$ में,$-1 \le 2\sin x अंतराल $[7\pi/6, 3\pi/2]$ में,$-2 \le 2\sin x इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:$I = \int_{\pi/2}^{5\pi/6} (1) \, dx + \int_{5\pi/6}^{\pi} (0) \, dx + \int_{\pi}^{7\pi/6} (-1) \, dx + \int_{7\pi/6}^{3\pi/2} (-2) \, dx$$I = (5\pi/6 - \pi/2) + 0 - (7\pi/6 - \pi) - 2(3\pi/2 - 7\pi/6)$$I = (2\pi/6) - (\pi/6) - 2(2\pi/6) = \pi/6 - 4\pi/6 = -3\pi/6 = -\pi/2$.

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माना $u = \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^4 + 7x^2 + 1}$ और $v = \int_{0}^{\infty} \frac{x^2 dx}{x^4 + 7x^2 + 1}$. तो:

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 8x \cot x \, dx} + \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\ln \left( {\frac{{1 - \sin x}}{{1 + \sin x}}} \right)dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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