मान लीजिए f^{prime}(x)=frac{192 x^3}{2+sin ^4 | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f^{\prime}(x) = \frac{192 x^3}{2+\sin^4 \pi x}$. चूँकि $0 \leq \sin^4 \pi x \leq 1$,इसलिए $2 \leq 2+\sin^4 \pi x \leq 3$ होता है।अतः,

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$m=1, M=12$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है $f^{\prime}(x) = \frac{192 x^3}{2+\sin^4 \pi x}$. चूँकि $0 \leq \sin^4 \pi x \leq 1$,इसलिए $2 \leq 2+\sin^4 \pi x \leq 3$ होता है।अतः,$\frac{192 x^3}{3} \leq f^{\prime}(x) \leq \frac{192 x^3}{2}$,जो सरल होकर $64 x^3 \leq f^{\prime}(x) \leq 96 x^3$ बनता है।$\frac{1}{2}$ से $x$ तक समाकलन करने पर,जहाँ $f(\frac{1}{2}) = 0$ है:$\int_{1/2}^x 64 t^3 dt \leq f(x) \leq \int_{1/2}^x 96 t^3 dt$$16(x^4 - (\frac{1}{2})^4) \leq f(x) \leq 24(x^4 - (\frac{1}{2})^4)$$16x^4 - 1 \leq f(x) \leq 24x^4 - 1.5$.अब,$\frac{1}{2}$ से $1$ तक समाकलन करने पर:$\int_{1/2}^1 (16x^4 - 1) dx \leq \int_{1/2}^1 f(x) dx \leq \int_{1/2}^1 (24x^4 - 1.5) dx$$[\frac{16x^5}{5} - x]_{1/2}^1 \leq \int_{1/2}^1 f(x) dx \leq [\frac{24x^5}{5} - 1.5x]_{1/2}^1$$(\frac{16}{5} - 1) - (\frac{16}{5 \cdot 32} - \frac{1}{2}) \leq \int_{1/2}^1 f(x) dx \leq (4.8 - 1.5) - (\frac{24}{5 \cdot 32} - 0.75)$$1.1 - (-0.4) \leq \int_{1/2}^1 f(x) dx \leq 3.3 - (-0.6) = 3.9$.अतः,$1 < 1.5 \leq \int_{1/2}^1 f(x) dx \leq 3.9 < 12$,इसलिए $m=1$ और $M=12$ असमिका को संतुष्ट करते हैं।

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