यदि m in Z^{+},n=2m और int_0^{frac{pi}{2}} si | vedclass

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Question

(A) वालिस के सूत्र का उपयोग करते हुए,हमारे पास है $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^m x \cos^n x \, dx = \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2}) \Gamma(\frac{n+1}{2})}

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{m+2} \cdot \frac{1}{m+4} \cdot \ldots \cdot \frac{1}{3m}$

Vedclass · Answer

(A) वालिस के सूत्र का उपयोग करते हुए,हमारे पास है $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^m x \cos^n x \, dx = \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2}) \Gamma(\frac{n+1}{2})}{2 \Gamma(\frac{m+n+2}{2})}$.दिया गया है $n=2m$,तो समाकलन $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^m x \cos^{2m} x \, dx = \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2}) \Gamma(\frac{2m+1}{2})}{2 \Gamma(\frac{3m+2}{2})}$ हो जाता है।साथ ही,$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^m x \, dx = \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2}) \Gamma(\frac{1}{2})}{2 \Gamma(\frac{m+2}{2})}$.अतः,$K(m) = \frac{\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^m x \cos^{2m} x \, dx}{\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^m x \, dx} = \frac{\Gamma(\frac{2m+1}{2}) \Gamma(\frac{m+2}{2})}{\Gamma(\frac{3m+2}{2}) \Gamma(\frac{1}{2})}$.डुप्लीकेशन सूत्र $\Gamma(z) \Gamma(z + \frac{1}{2}) = 2^{1-2z} \sqrt{\pi} \Gamma(2z)$ का उपयोग करके,$K(m)$ को सरल करने पर गुणन रूप प्राप्त होता है:$K(m) = \frac{(2m-1)!! (m-1)!}{2^{m-1} (3m-1)!!} \cdot \dots$$\frac{2^{m-1}(m-1)!}{(2m-1)!} K(m)$ में मान रखने पर,हमें $\frac{1}{m+2} \cdot \frac{1}{m+4} \cdot \dots \cdot \frac{1}{3m}$ प्राप्त होता है।

यदि $m \in Z^{+}$,$n=2m$ और $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{m} x \cos ^{n} x \, dx = K(m) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^m x \, dx$ है,तो $\frac{2^{m-1}(m-1)!}{(2m-1)!} K(m) =$

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