જો m in Z^{+},n=2m અને int_0^{frac{pi}{2}} si | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) વોલિસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે છે $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^m x \cos^n x \, dx = \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2}) \Gamma(\frac{n+1}{2})}{2 \Ga

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{m+2} \cdot \frac{1}{m+4} \cdot \ldots \cdot \frac{1}{3m}$

Vedclass · Answer

(A) વોલિસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે છે $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^m x \cos^n x \, dx = \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2}) \Gamma(\frac{n+1}{2})}{2 \Gamma(\frac{m+n+2}{2})}$.આપેલ છે કે $n=2m$,તેથી સંકલન $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^m x \cos^{2m} x \, dx = \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2}) \Gamma(\frac{2m+1}{2})}{2 \Gamma(\frac{3m+2}{2})}$ બને છે.વળી,$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^m x \, dx = \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2}) \Gamma(\frac{1}{2})}{2 \Gamma(\frac{m+2}{2})}$.તેથી,$K(m) = \frac{\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^m x \cos^{2m} x \, dx}{\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^m x \, dx} = \frac{\Gamma(\frac{2m+1}{2}) \Gamma(\frac{m+2}{2})}{\Gamma(\frac{3m+2}{2}) \Gamma(\frac{1}{2})}$.ડુપ્લિકેશન સૂત્ર $\Gamma(z) \Gamma(z + \frac{1}{2}) = 2^{1-2z} \sqrt{\pi} \Gamma(2z)$ નો ઉપયોગ કરીને,$K(m)$ ને સાદું રૂપ આપતા ગુણાકાર સ્વરૂપ મળે છે:$K(m) = \frac{(2m-1)!! (m-1)!}{2^{m-1} (3m-1)!!} \cdot \dots$$\frac{2^{m-1}(m-1)!}{(2m-1)!} K(m)$ માં કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{1}{m+2} \cdot \frac{1}{m+4} \cdot \dots \cdot \frac{1}{3m}$ મળે છે.

સ્તંભ $I$	સ્તંભ $II$
$(A) \int_{-1}^1 \frac{dx}{1+x^2}$	$(p) \frac{1}{2} \log \left(\frac{2}{3}\right)$
$(B) \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$	$(q) 2 \log \left(\frac{2}{3}\right)$
$(C) \int_2^3 \frac{dx}{1-x^2}$	$(r) \frac{\pi}{3}$
$(D) \int_1^2 \frac{dx}{x \sqrt{x^2-1}}$	$(s) \frac{\pi}{2}$

જો $m \in Z^{+}$,$n=2m$ અને $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{m} x \cos ^{n} x \, dx = K(m) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^m x \, dx$ હોય,તો $\frac{2^{m-1}(m-1)!}{(2m-1)!} K(m) =$

Similar Questions

$\int_{0}^{1/3} (\sum_{r=0}^{101} \{x + \frac{r}{3}\}) dx$ ની કિંમત શોધો (જ્યાં $\{.\}$ એ અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય દર્શાવે છે).

ધારો કે $r_k = \frac{\int_0^1 (1-x^7)^k dx}{\int_0^1 (1-x^7)^{k+1} dx}$,$k \in N$. તો $\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{7(r_k-1)}$ નું મૂલ્ય ........... છે.

શરત $\int_0^1 (f(x))^2 dx = 2 \int_0^1 f(x) dx$ નું પાલન કરતા સતત વિધેયો $f:[0,1] \rightarrow(-\infty, \infty)$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $I_n = \int_{0}^{1} \frac{dx}{(1 + x^2)^n}$; $n \in N$,હોય તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module