જો I_n = int_{0}^{1} frac{dx}{(1 + x^2)^n}; n | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $I_n = \int_{0}^{1} (1 + x^2)^{-n} dx$. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = (1 + x^2)^{-n}$ અને $dv = dx$ લો. તેથી $du = -n(1 + x^2)^{-n-1} (2x)

Vedclass · Accepted Answer

$(A)$ અને $(B)$ બંને

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $I_n = \int_{0}^{1} (1 + x^2)^{-n} dx$. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = (1 + x^2)^{-n}$ અને $dv = dx$ લો. તેથી $du = -n(1 + x^2)^{-n-1} (2x) dx$ અને $v = x$ મળે.$I_n = [x(1 + x^2)^{-n}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \cdot (-2nx)(1 + x^2)^{-n-1} dx$$I_n = \frac{1}{2^n} + 2n \int_{0}^{1} \frac{x^2}{(1 + x^2)^{n+1}} dx$$I_n = \frac{1}{2^n} + 2n \int_{0}^{1} \frac{(1 + x^2) - 1}{(1 + x^2)^{n+1}} dx$$I_n = \frac{1}{2^n} + 2n [I_n - I_{n+1}]$$2n I_{n+1} = \frac{1}{2^n} + (2n - 1) I_n$. આ વિધાન $(A)$ સાબિત કરે છે.$n=1$ માટે,$I_1 = \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^2} = [	an^{-1} x]_{0}^{1} = \frac{\pi}{4}$.$n=1$ માટે રિડક્શન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $2(1) I_2 = \frac{1}{2^1} + (2(1) - 1) I_1 \implies 2 I_2 = \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4} \implies I_2 = \frac{1}{4} + \frac{\pi}{8}$. આ વિધાન $(B)$ સાબિત કરે છે.આમ,$(A)$ અને $(B)$ બંને સાચા છે.

જો $I_n = \int_{0}^{1} \frac{dx}{(1 + x^2)^n}$; $n \in N$,હોય તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

Similar Questions

ધારો કે $f(\alpha) = \int_{0}^{\alpha} x^{2} \left(1 - \frac{x}{\alpha}\right)^{\alpha} dx$ (જ્યાં $\alpha > 0$),તો $\sum_{\alpha=1}^{5} \frac{f(\alpha)}{\alpha^{3}}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે ${I_1} = \int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}}}{{1 + x}}} \,dx$ અને ${I_2} = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}}}{{{e^{{x^3}}}\left( {2 - {x^3}} \right)}}} \,dx$ હોય,તો $\frac{{{I_1}}}{{{I_2}}}$ ની કિંમત શોધો.

જો $\alpha \in (2, 3)$ હોય,તો સમીકરણ $\int_{0}^{\alpha} \cos(x + \alpha^2) \, dx = \sin \alpha$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $u = \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^4 + 7x^2 + 1}$ અને $v = \int_{0}^{\infty} \frac{x^2 dx}{x^4 + 7x^2 + 1}$. તો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module