ધારો કે f(x)=x+frac{a}{pi^2-4} sin x+frac{b}{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે $f(x)=x+\int \limits_0^{\pi / 2} \sin (x+y) f(y) d y$.$\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ નો ઉપયોગ કરતા:$f(x)=x+\sin x \int \limit

Vedclass · Accepted Answer

$-2 \pi(\pi+2)$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે $f(x)=x+\int \limits_0^{\pi / 2} \sin (x+y) f(y) d y$.$\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ નો ઉપયોગ કરતા:$f(x)=x+\sin x \int \limits_0^{\pi / 2} \cos y f(y) d y + \cos x \int \limits_0^{\pi / 2} \sin y f(y) d y$.આને $f(x)=x+\frac{a}{\pi^2-4} \sin x+\frac{b}{\pi^2-4} \cos x$ સાથે સરખાવતા:$\frac{a}{\pi^2-4} = \int \limits_0^{\pi / 2} f(y) \cos y d y$ અને $\frac{b}{\pi^2-4} = \int \limits_0^{\pi / 2} f(y) \sin y d y$.ધારો કે $I = \int \limits_0^{\pi / 2} f(y) (\sin y + \cos y) d y = \frac{a+b}{\pi^2-4}$.ગુણધર્મ $\int_0^a g(y) dy = \int_0^a g(a-y) dy$ નો ઉપયોગ કરતા:$I = \int_0^{\pi/2} f(\frac{\pi}{2}-y) (\sin(\frac{\pi}{2}-y) + \cos(\frac{\pi}{2}-y)) dy = \int_0^{\pi/2} f(\frac{\pi}{2}-y) (\cos y + \sin y) dy$.$f(x) = x + I(\sin x + \cos x)$ હોવાથી,$f(\frac{\pi}{2}-y) = \frac{\pi}{2} - y + I(\cos y + \sin y)$.આને $I$ માં મૂકતા:$I = \int_0^{\pi/2} (\frac{\pi}{2} - y + I(\sin y + \cos y))(\sin y + \cos y) dy$.$I = \int_0^{\pi/2} (\frac{\pi}{2} - y)(\sin y + \cos y) dy + I \int_0^{\pi/2} (\sin y + \cos y)^2 dy$.સંકલન કરતા:$\int_0^{\pi/2} (\frac{\pi}{2} - y)(\sin y + \cos y) dy = \frac{\pi}{2}$.$\int_0^{\pi/2} (1 + 2 \sin y \cos y) dy = \frac{\pi}{2} + 1$.તેથી,$I = \frac{\pi}{2} + I(\frac{\pi}{2} + 1) \Rightarrow I = -1$.આમ,$a+b = -(\pi^2-4) = 4-\pi^2$. વિકલ્પો મુજબ સાચો જવાબ $-2\pi(\pi+2)$ છે.

Similar Questions

ધારો કે $I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx$. તો $\frac{1}{I_2 + I_4}, \frac{1}{I_3 + I_5}, \frac{1}{I_4 + I_6}, \dots$ શેમાં છે?

$\int_{0}^{^{n}C_{r}} \{ \sin^{2}\{x\} \} dx$ ની કિંમત શોધો (જ્યાં $\{.\}$ એ અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય દર્શાવે છે અને $n, r \in N$)

$\int_{0}^{1} 9x^8 dx + \int_{0}^{\pi/2} \cos x dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $f(\alpha) = \int_{0}^{\alpha} x^{2} \left(1 - \frac{x}{\alpha}\right)^{\alpha} dx$ (જ્યાં $\alpha > 0$),તો $\sum_{\alpha=1}^{5} \frac{f(\alpha)}{\alpha^{3}}$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module