ધારો કે $f : R \rightarrow R$ એ બે વાર વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(2)=1$. જો બધા $x \in R$ માટે $F(x) = x f(x)$ હોય,$\int_0^2 x F^{\prime}(x) dx = 6$ અને $\int_0^2 x^2 F^{\prime \prime}(x) dx = 40$ હોય,તો $F^{\prime}(2) + \int_0^2 F(x) dx$ ની કિંમત શોધો:

જો પરવલય $y = ax^2 + bx + c$ ના શિરોબિંદુનો $x$-યામ $1$ $(a, b, c > 0)$ હોય અને $f(x) = \int_0^x (3at^2 + bt + c) dt$ એ $\forall x \in R$ માટે ચુસ્ત વધતું વિધેય હોય,તો $[\frac{a}{c}]$ ની મહત્તમ શક્ય કિંમત શોધો (જ્યાં $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે).

ધારો કે $\operatorname{Max} \limits _{0 \leq x \leq 2}\left\{\frac{9-x^{2}}{5-x}\right\}=\alpha$ અને $\operatorname{Min} \limits _ {0 \leq x \leq 2}\left\{\frac{9-x^{2}}{5-x}\right\}=\beta$. જો $\int\limits_{\beta-\frac{8}{3}}^{2 \alpha-1} \operatorname{Max}\left\{\frac{9- x ^{2}}{5- x }, x \right\} dx =\alpha_{1}+\alpha_{2} \log _{e}\left(\frac{8}{15}\right)$ હોય,તો $\alpha_{1}+\alpha_{2}$ ની કિંમત શોધો.

એક સતત અને વિકલનીય વિધેય $f$ એ શરત $\int_{0}^{x} f(t) dt = f^2(x) - 1$ ને તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે સંતોષે છે. તો:

ધારો કે $I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} \tan^{-1} x \, dx$. જો તમામ $n \geq 1$ માટે $a_{n} I_{n+2} + b_{n} I_{n} = c_{n}$ હોય, તો

જો $\alpha \in (2, 3)$ હોય,તો સમીકરણ $\int_{0}^{\alpha} \cos(x + \alpha^2) \, dx = \sin \alpha$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?