मान लीजिए $f(x)=x+\frac{a}{\pi^2-4} \sin x+\frac{b}{\pi^2-4} \cos x$ जहाँ $x \in R$ एक फलन है जो $f(x)=x+\int \limits_0^{\pi / 2} \sin (x+y) f(y) d y$ को संतुष्ट करता है। तो $(a+b)$ का मान $............$ है।

यदि $b_{n} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^{2} nx}{\sin x} dx$,$n \in N$,तो

मान लीजिए $f : R \rightarrow R$ एक दो बार अवकलनीय फलन है ताकि $f(2)=1$ हो। यदि सभी $x \in R$ के लिए $F(x) = x f(x)$ है,$\int_0^2 x F^{\prime}(x) dx = 6$ और $\int_0^2 x^2 F^{\prime \prime}(x) dx = 40$ है,तो $F^{\prime}(2) + \int_0^2 F(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\alpha$ के वे मान जो $\int_{\pi /2}^{\alpha} \sin x \, dx = \sin 2\alpha$ को संतुष्ट करते हैं,जहाँ $\alpha \in [0, 2\pi]$,वे हैं:

माना $f(x)=(1-x)^2 \sin ^2 x+x^2$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए और $g(x)=\int_1^x \left(\frac{2(t-1)}{t+1}-\ln t\right) f(t) dt$ सभी $x \in (1, \infty)$ के लिए।
$1.$ निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
$(A)$ $g$,$(1, \infty)$ पर वर्धमान है
$(B)$ $g$,$(1, \infty)$ पर ह्रासमान है
$(C)$ $g$,$(1,2)$ पर वर्धमान और $(2, \infty)$ पर ह्रासमान है
$(D)$ $g$,$(1,2)$ पर ह्रासमान और $(2, \infty)$ पर वर्धमान है
$2.$ कथनों पर विचार करें:
$P$ : ऐसा कोई $x \in \mathbb{R}$ विद्यमान है कि $f(x)+2x=2(1+x^2)$
$Q$ : ऐसा कोई $x \in \mathbb{R}$ विद्यमान है कि $2f(x)+1=2x(1+x)$
तब
$(A)$ $P$ और $Q$ दोनों सत्य हैं
$(B)$ $P$ सत्य है और $Q$ असत्य है
$(C)$ $P$ असत्य है और $Q$ सत्य है
$(D)$ $P$ और $Q$ दोनों असत्य हैं
प्रश्न $1$ और $2$ के लिए उत्तर दें।

मान लीजिए $\operatorname{Max} \limits _{0 \leq x \leq 2}\left\{\frac{9-x^{2}}{5-x}\right\}=\alpha$ और $\operatorname{Min} \limits _ {0 \leq x \leq 2}\left\{\frac{9-x^{2}}{5-x}\right\}=\beta$. यदि $\int\limits_{\beta-\frac{8}{3}}^{2 \alpha-1} \operatorname{Max}\left\{\frac{9- x ^{2}}{5- x }, x \right\} dx =\alpha_{1}+\alpha_{2} \log _{e}\left(\frac{8}{15}\right)$ है,तो $\alpha_{1}+\alpha_{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।