यदि alpha = int_{0}^{2sqrt{3}} log_2(x^2+4) d | vedclass

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Question

(48) माना $I_1 = \int_{0}^{2\sqrt{3}} \log_2(x^2+4) dx$ और $I_2 = \int_{2}^{4} \sqrt{2^x-4} dx$ है।$I_2$ के लिए, $y = 2^x - 4$ लें, तो $x = \log_2(y+4

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(48) माना $I_1 = \int_{0}^{2\sqrt{3}} \log_2(x^2+4) dx$ और $I_2 = \int_{2}^{4} \sqrt{2^x-4} dx$ है।$I_2$ के लिए, $y = 2^x - 4$ लें, तो $x = \log_2(y+4)$ होगा।$dx = \frac{1}{(y+4) \ln 2} dy$ होगा।जब $x=2, y=0$ और जब $x=4, y=12$ होगा।$I_2 = \int_{0}^{12} \sqrt{y} \frac{1}{(y+4) \ln 2} dy = \frac{1}{\ln 2} \int_{0}^{12} \frac{\sqrt{y}}{y+4} dy$ होगा।माना $\sqrt{y} = u$, $y = u^2$, $dy = 2u du$ है।$I_2 = \frac{1}{\ln 2} \int_{0}^{2\sqrt{3}} \frac{u}{u^2+4} (2u) du = \frac{2}{\ln 2} \int_{0}^{2\sqrt{3}} \frac{u^2}{u^2+4} du = \frac{2}{\ln 2} \int_{0}^{2\sqrt{3}} (1 - \frac{4}{u^2+4}) du$ होगा।$I_2 = \frac{2}{\ln 2} [u - 2 	an^{-1}(\frac{u}{2})]_{0}^{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\ln 2} [2\sqrt{3} - 2(\frac{\pi}{3})] = \frac{4\sqrt{3}}{\ln 2} - \frac{4\pi}{3 \ln 2}$ होगा।$I_1 = \int_{0}^{2\sqrt{3}} \log_2(x^2+4) dx = \frac{1}{\ln 2} \int_{0}^{2\sqrt{3}} \ln(x^2+4) dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए।समाकलन का मूल्यांकन करने पर, हमें $\alpha = 4\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।अतः, $\alpha^2 = (4\sqrt{3})^2 = 16 	imes 3 = 48$ होगा।

यदि $\alpha = \int_{0}^{2\sqrt{3}} \log_2(x^2+4) dx + \int_{2}^{4} \sqrt{2^x-4} dx$ है, तो $\alpha^2$ का मान . . . . . . है।

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