જો alpha = int_{0}^{2sqrt{3}} log_2(x^2+4) dx | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(48) ધારો કે $I_1 = \int_{0}^{2\sqrt{3}} \log_2(x^2+4) dx$ અને $I_2 = \int_{2}^{4} \sqrt{2^x-4} dx$.$I_2$ માટે, $y = 2^x - 4$ લો, તેથી $x = \log_2(y+4

Vedclass · Accepted Answer

Vedclass · Answer

(48) ધારો કે $I_1 = \int_{0}^{2\sqrt{3}} \log_2(x^2+4) dx$ અને $I_2 = \int_{2}^{4} \sqrt{2^x-4} dx$.$I_2$ માટે, $y = 2^x - 4$ લો, તેથી $x = \log_2(y+4)$.$dx = \frac{1}{(y+4) \ln 2} dy$.જ્યારે $x=2, y=0$. જ્યારે $x=4, y=12$.$I_2 = \int_{0}^{12} \sqrt{y} \frac{1}{(y+4) \ln 2} dy = \frac{1}{\ln 2} \int_{0}^{12} \frac{\sqrt{y}}{y+4} dy$.ધારો કે $\sqrt{y} = u$, $y = u^2$, $dy = 2u du$.$I_2 = \frac{1}{\ln 2} \int_{0}^{2\sqrt{3}} \frac{u}{u^2+4} (2u) du = \frac{2}{\ln 2} \int_{0}^{2\sqrt{3}} \frac{u^2}{u^2+4} du = \frac{2}{\ln 2} \int_{0}^{2\sqrt{3}} (1 - \frac{4}{u^2+4}) du$.$I_2 = \frac{2}{\ln 2} [u - 2 	an^{-1}(\frac{u}{2})]_{0}^{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\ln 2} [2\sqrt{3} - 2(\frac{\pi}{3})] = \frac{4\sqrt{3}}{\ln 2} - \frac{4\pi}{3 \ln 2}$.$I_1 = \int_{0}^{2\sqrt{3}} \log_2(x^2+4) dx = \frac{1}{\ln 2} \int_{0}^{2\sqrt{3}} \ln(x^2+4) dx$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા.સંકલનનું મૂલ્યાંકન કરતા, આપણને $\alpha = 4\sqrt{3}$ મળે છે.તેથી, $\alpha^2 = (4\sqrt{3})^2 = 16 	imes 3 = 48$.

જો $\alpha = \int_{0}^{2\sqrt{3}} \log_2(x^2+4) dx + \int_{2}^{4} \sqrt{2^x-4} dx$ હોય, તો $\alpha^2$ ની કિંમત . . . . . . થાય.

Similar Questions

ધારો કે $I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx$. તો $\frac{1}{I_2 + I_4}, \frac{1}{I_3 + I_5}, \frac{1}{I_4 + I_6}, \dots$ શેમાં છે?

જો $I_{n} = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cot^{n} x \, dx$ હોય,તો:

એક સતત અને વિકલનીય વિધેય $f$ એ શરત $\int_{0}^{x} f(t) dt = f^2(x) - 1$ ને તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે સંતોષે છે. તો:

શરત $\int_0^1 (f(x))^2 dx = 2 \int_0^1 f(x) dx$ નું પાલન કરતા સતત વિધેયો $f:[0,1] \rightarrow(-\infty, \infty)$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $I_n = \int_0^1 e^{-y} y^n \, dy$,જ્યાં $n$ એ અ-ઋણ પૂર્ણાંક છે. તો,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{I_n}{n!}$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module