ધારો કે I_n = int_0^1 e^{-y} y^n , dy,જ્યાં n | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપણને $I_n = \int_0^1 e^{-y} y^n \, dy$ આપેલ છે.સરવાળાની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{I_n}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{e}$

Vedclass · Answer

(C) આપણને $I_n = \int_0^1 e^{-y} y^n \, dy$ આપેલ છે.સરવાળાની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{I_n}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \int_0^1 e^{-y} y^n \, dy$.સંકલન અભિસારી હોવાથી,આપણે સરવાળા અને સંકલનને અદલાબદલી કરી શકીએ છીએ:$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{I_n}{n!} = \int_0^1 e^{-y} \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n!} \right) \, dy$.આપણે જાણીએ છીએ કે $e^y$ માટે ટેલર શ્રેણી $e^y = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{y^n}{n!} = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n!}$ છે.તેથી,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n!} = e^y - 1$.આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{I_n}{n!} = \int_0^1 e^{-y} (e^y - 1) \, dy = \int_0^1 (1 - e^{-y}) \, dy$.સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:$= [y - (-e^{-y})]_0^1 = [y + e^{-y}]_0^1$.$= (1 + e^{-1}) - (0 + e^0) = 1 + \frac{1}{e} - 1 = \frac{1}{e}$.

ધારો કે $I_n = \int_0^1 e^{-y} y^n \, dy$,જ્યાં $n$ એ અ-ઋણ પૂર્ણાંક છે. તો,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{I_n}{n!}$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

શરત $\int_0^1 (f(x))^2 dx = 2 \int_0^1 f(x) dx$ નું પાલન કરતા સતત વિધેયો $f:[0,1] \rightarrow(-\infty, \infty)$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $f(\theta) = \sin \theta + \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} (\sin \theta + t \cos \theta) f(t) dt$. તો $\left| \int_{0}^{\pi / 2} f(\theta) d\theta \right|$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો ${I_n} = \int_{ - n}^n {{{\tan }^2}\{x\}dx} $ હોય,તો (જ્યાં $\{.\}$ એ અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય દર્શાવે છે અને $n \in N$):

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module