વિધેય $y = f(x)$ ના આલેખ પરના બિંદુ $x = a$ આગળનો સ્પર્શક $x$-અક્ષ સાથે $\pi/3$ નો ખૂણો બનાવે છે અને $x = b$ આગળના બિંદુએ $\pi/4$ નો ખૂણો બનાવે છે. તો સંકલન $\int_{a}^{b} f(x) \cdot f''(x) \, dx$ ની કિંમત શોધો (ધારો કે $f''(x)$ સતત છે).

ધારો કે $f(x) = \int\limits_0^x {(t^2 + 2t + 2)dt}$ જ્યાં $x$ એ અસમતા $\log_{\sqrt{2}}(1 + \sqrt{6x - x^2 - 8}) \ge 0$ નું સમાધાન કરતી વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. જો $f(x)$ નો વિસ્તાર $[a, b]$ હોય,તો $(a + b)$ ની કિંમત શોધો.

વિધાન $(A)$: $\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^6 x + \cos^6 x) dx$ એ અંતરાલ $(\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{2})$ માં આવેલું છે.
કારણ $(R)$: $\sin^6 x + \cos^6 x$ એ $\frac{\pi}{2}$ આવર્તમાન ધરાવતું આવર્તી વિધેય છે.

$x \in R \setminus \{0\}$ માટે સમીકરણ $6 \int_{0}^{|x|} ((t^2-1) \ln t) dt = 5|x|$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

$x, t \in R$ માટે,ધારો કે $p_t(x) = (\sin t) x^2 - (2 \cos t) x + \sin t$ એ $x$ માં ચલ સહગુણકો ધરાવતી દ્વિઘાત બહુપદીઓનું કુટુંબ છે. ધારો કે $A(t) = \int_0^1 p_t(x) dx$. નીચેનામાંથી કયા વિધાનો સાચા છે?
$I$. બધા $t$ માટે $A(t) < 0$.
$II$. $A(t)$ ને અનંત સંખ્યામાં નિર્ણાયક બિંદુઓ છે.
$III$. અનંત સંખ્યામાં $t$ માટે $A(t) = 0$.
$IV$. બધા $t$ માટે $A'(t) < 0$.

ધારો કે $I_1 = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin x - \cos x}{1 + \sin x \cos x} dx$,$I_2 = \int_0^{2\pi} \cos^6 x dx$,$I_3 = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^3 x dx$,અને $I_4 = \int_0^1 \ln \left( \frac{1}{x} - 1 \right) dx$. તો: