मान लीजिए f(x) = intlimits_0^x {(t^2 + 2t + 2 | vedclass

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Question

(B) दी गई असमिका: $\log_{\sqrt{2}}(1 + \sqrt{6x - x^2 - 8}) \ge 0$.चूंकि आधार $\sqrt{2} > 1$ है,इसलिए $1 + \sqrt{6x - x^2 - 8} \ge (\sqrt{2})^0 = 1$.इ

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$56$

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(B) दी गई असमिका: $\log_{\sqrt{2}}(1 + \sqrt{6x - x^2 - 8}) \ge 0$.चूंकि आधार $\sqrt{2} > 1$ है,इसलिए $1 + \sqrt{6x - x^2 - 8} \ge (\sqrt{2})^0 = 1$.इसका अर्थ है $\sqrt{6x - x^2 - 8} \ge 0$,जो वर्गमूल के प्रांत के लिए हमेशा सत्य है।वर्गमूल को परिभाषित होने के लिए,$6x - x^2 - 8 \ge 0$,जिसका अर्थ है $x^2 - 6x + 8 \le 0$.द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(x - 2)(x - 4) \le 0$,अतः $x \in [2, 4]$.अब,$f(x) = \int_0^x (t^2 + 2t + 2)dt = [\frac{t^3}{3} + t^2 + 2t]_0^x = \frac{x^3}{3} + x^2 + 2x$.चूंकि $f'(x) = x^2 + 2x + 2 = (x+1)^2 + 1 > 0$,इसलिए $f(x)$ एक वर्धमान फलन है।अतः,$x \in [2, 4]$ के लिए $f(x)$ का परिसर $[f(2), f(4)]$ है।$a = f(2) = \frac{8}{3} + 4 + 4 = \frac{32}{3}$.$b = f(4) = \frac{64}{3} + 16 + 8 = \frac{136}{3}$.इसलिए,$a + b = \frac{32}{3} + \frac{136}{3} = \frac{168}{3} = 56$.

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एक बहुपद फलन $f(x)$ जो शर्तों $f(x) = [f'(x)]^2$ और $\int_{0}^{1} f(x) dx = \frac{19}{12}$ को संतुष्ट करता है,हो सकता है:

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यदि ${I_n} = \int_{ - n}^n {{{\tan }^2}\{x\}dx} $ है,तो (जहाँ $\{.\}$ भिन्नात्मक भाग फलन को दर्शाता है और $n \in N$):

यदि $\int_0^{2 \pi}\left(\sin ^4 x+\cos ^4 x\right) d x=K \int_0^\pi \sin ^2 x d x+L \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^2 x d x$ और $K, L \in N$ है,तो संभावित क्रमित युग्मों $(K, L)$ की संख्या क्या है?

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