यदि $I_1 = \int_0^{\pi / 2} \frac{x}{\sin x} dx$ और $I_2 = \int_0^1 \frac{\tan^{-1} x}{x} dx$ है,तो $I_1 : I_2$ क्या है?

मान लीजिए $I_1 = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin x - \cos x}{1 + \sin x \cos x} dx$,$I_2 = \int_0^{2\pi} \cos^6 x dx$,$I_3 = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^3 x dx$,और $I_4 = \int_0^1 \ln \left( \frac{1}{x} - 1 \right) dx$. तो:

$\alpha$ के वे मान जो $\int_{\pi /2}^{\alpha} \sin x \, dx = \sin 2\alpha$ को संतुष्ट करते हैं,जहाँ $\alpha \in [0, 2\pi]$,वे हैं:

$x, t \in R$ के लिए,मान लीजिए $p_t(x) = (\sin t) x^2 - (2 \cos t) x + \sin t$ चर गुणांकों वाले $x$ में द्विघात बहुपदों का एक परिवार है। मान लीजिए $A(t) = \int_0^1 p_t(x) dx$ है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$I$. सभी $t$ के लिए $A(t) < 0$ है।
$II$. $A(t)$ के अनंत क्रांतिक बिंदु हैं।
$III$. अनंत $t$ के लिए $A(t) = 0$ है।
$IV$. सभी $t$ के लिए $A'(t) < 0$ है।

मान लीजिए $u = \int_0^1 \frac{\ln(x + 1)}{x^2 + 1} \, dx$ और $v = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin 2x) \, dx$ है,तो:

यदि $b_{n} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^{2} nx}{\sin x} dx$,$n \in N$,तो