मान लीजिए I_1 = int_0^{pi/2} frac{sin x - cos | vedclass

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Question

(C) $I_1$ के लिए: गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें $I_1 = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos x - \sin x}{1 + \cos x \sin x

Vedclass · Accepted Answer

$I_1 = I_3 = I_4 = 0$ लेकिन $I_2 
eq 0$

Vedclass · Answer

(C) $I_1$ के लिए: गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें $I_1 = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos x - \sin x}{1 + \cos x \sin x} dx = -I_1$ प्राप्त होता है। अतः,$2I_1 = 0 \implies I_1 = 0$.$I_2$ के लिए: यदि $f(2a-x) = f(x)$ हो तो $\int_0^{2a} f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$,अतः $I_2 = 2 \int_0^{\pi} \cos^6 x dx = 4 \int_0^{\pi/2} \cos^6 x dx$। वालिस सूत्र का उपयोग करने पर,$I_2 = 4 	imes \frac{5 	imes 3 	imes 1}{6 	imes 4 	imes 2} 	imes \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{8} 
eq 0$.$I_3$ के लिए: चूंकि $\sin^3(-x) = -\sin^3 x$,समाकल्य $[-\pi/2, \pi/2]$ पर एक विषम फलन है। अतः,$I_3 = 0$.$I_4$ के लिए: $x = \sin^2 	heta$ रखने पर,$dx = 2 \sin 	heta \cos 	heta d	heta$। $I_4 = \int_0^{\pi/2} \ln(\cot^2 	heta) 2 \sin 	heta \cos 	heta d	heta = 4 \int_0^{\pi/2} \ln(\cot 	heta) \sin 	heta \cos 	heta d	heta$। यह समाकलन $0$ के बराबर है क्योंकि गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ के अनुसार $\int_0^{\pi/2} \ln(	an 	heta) d	heta = 0$ होता है।

मान लीजिए $I_1 = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin x - \cos x}{1 + \sin x \cos x} dx$,$I_2 = \int_0^{2\pi} \cos^6 x dx$,$I_3 = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^3 x dx$,और $I_4 = \int_0^1 \ln \left( \frac{1}{x} - 1 \right) dx$. तो:

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एक सतत और अवकलनीय फलन $f$ सभी वास्तविक $x$ के लिए शर्त $\int_{0}^{x} f(t) dt = f^2(x) - 1$ को संतुष्ट करता है। तो:

शर्त $\int_0^1 (f(x))^2 dx = 2 \int_0^1 f(x) dx$ को संतुष्ट करने वाले सतत फलनों $f:[0,1] \rightarrow(-\infty, \infty)$ की संख्या कितनी है?

यदि $m \in Z^{+}$,$n=2m$ और $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{m} x \cos ^{n} x \, dx = K(m) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^m x \, dx$ है,तो $\frac{2^{m-1}(m-1)!}{(2m-1)!} K(m) =$

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