मान लीजिए f: R rightarrow R एक फलन है जिसे f( | vedclass

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Question

(B) सीमा $\lim_{x \rightarrow -1} f(x)$ के अस्तित्व के लिए,बाएँ हाथ की सीमा और दाएँ हाथ की सीमा समान होनी चाहिए।दाएँ हाथ की सीमा: $\lim_{x \rightarrow

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$-2$

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(B) सीमा $\lim_{x \rightarrow -1} f(x)$ के अस्तित्व के लिए,बाएँ हाथ की सीमा और दाएँ हाथ की सीमा समान होनी चाहिए।दाएँ हाथ की सीमा: $\lim_{x \rightarrow -1^+} f(x) = a \sin \left(\frac{\pi(-1)}{2}\right) + [2 - (-1^+)] = a \sin(-\pi/2) + [3^-] = -a + 2$.बाएँ हाथ की सीमा: $\lim_{x \rightarrow -1^-} f(x) = a \sin \left(\frac{\pi(-2)}{2}\right) + [2 - (-1^-)] = a \sin(-\pi) + [3^+] = 0 + 3 = 3$.दोनों को बराबर करने पर: $-a + 2 = 3 \implies a = -1$.अब,$a = -1$ के साथ $\int_{0}^{4} f(x) dx$ की गणना करते हैं,इसलिए $f(x) = -\sin \left(\frac{\pi[x]}{2}\right) + [2-x]$.$\int_{0}^{4} f(x) dx = \int_{0}^{1} f(x) dx + \int_{1}^{2} f(x) dx + \int_{2}^{3} f(x) dx + \int_{3}^{4} f(x) dx$.$x \in [0, 1)$ के लिए,$[x] = 0$,$[2-x] = 1 \implies f(x) = 1$.$x \in [1, 2)$ के लिए,$[x] = 1$,$[2-x] = 0 \implies f(x) = -\sin(\pi/2) + 0 = -1$.$x \in [2, 3)$ के लिए,$[x] = 2$,$[2-x] = -1 \implies f(x) = -\sin(\pi) - 1 = -1$.$x \in [3, 4)$ के लिए,$[x] = 3$,$[2-x] = -2 \implies f(x) = -\sin(3\pi/2) - 2 = 1 - 2 = -1$.समाकलन = $\int_{0}^{1} (1) dx + \int_{1}^{2} (-1) dx + \int_{2}^{3} (-1) dx + \int_{3}^{4} (-1) dx = 1 - 1 - 1 - 1 = -2$.

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