यदि int_0^{2 pi}left(sin ^4 x+cos ^4 xright) | vedclass

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Question

(B) $L$.$H$.$S$. $= \int_0^{2 \pi} (\sin ^4 x + \cos ^4 x) dx = 2 \int_0^{\pi} (\sin ^4 x + \cos ^4 x) dx = 4 \int_0^{\pi/2} (\sin ^4 x + \cos ^4 x) d

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$2$

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(B) $L$.$H$.$S$. $= \int_0^{2 \pi} (\sin ^4 x + \cos ^4 x) dx = 2 \int_0^{\pi} (\sin ^4 x + \cos ^4 x) dx = 4 \int_0^{\pi/2} (\sin ^4 x + \cos ^4 x) dx$. वालिस सूत्र का उपयोग करते हुए,$\int_0^{\pi/2} \sin^4 x dx = \int_0^{\pi/2} \cos^4 x dx = \frac{3 	imes 1}{4 	imes 2} 	imes \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16}$. अतः,$L$.$H$.$S$. $= 4 	imes (\frac{3\pi}{16} + \frac{3\pi}{16}) = 4 	imes \frac{6\pi}{16} = \frac{3\pi}{2}$. $R$.$H$.$S$. $= K \int_0^{\pi} \sin^2 x dx + L \int_0^{\pi/2} \cos^2 x dx = K(2 \int_0^{\pi/2} \sin^2 x dx) + L \int_0^{\pi/2} \cos^2 x dx$. $\int_0^{\pi/2} \sin^2 x dx = \int_0^{\pi/2} \cos^2 x dx = \frac{1}{2} 	imes \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$ का उपयोग करते हुए। $R$.$H$.$S$. $= K(2 	imes \frac{\pi}{4}) + L(\frac{\pi}{4}) = \frac{K\pi}{2} + \frac{L\pi}{4} = \frac{(2K + L)\pi}{4}$. $L$.$H$.$S$. और $R$.$H$.$S$. की तुलना करने पर: $\frac{3\pi}{2} = \frac{(2K + L)\pi}{4} \Rightarrow 6 = 2K + L$. चूंकि $K, L \in N$ (प्राकृत संख्याएँ),हम $K$ के लिए मानों की जाँच करते हैं: यदि $K=1$,तो $L = 6 - 2(1) = 4$. यदि $K=2$,तो $L = 6 - 2(2) = 2$. यदि $K=3$,तो $L = 6 - 2(3) = 0$ ($N$ में नहीं है)। अतः,संभावित क्रमित युग्म $(K, L)$ $(1, 4)$ और $(2, 2)$ हैं। ऐसे $2$ युग्म संभव हैं।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A) \int_{-1}^1 \frac{dx}{1+x^2}$	$(p) \frac{1}{2} \log \left(\frac{2}{3}\right)$
$(B) \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$	$(q) 2 \log \left(\frac{2}{3}\right)$
$(C) \int_2^3 \frac{dx}{1-x^2}$	$(r) \frac{\pi}{3}$
$(D) \int_1^2 \frac{dx}{x \sqrt{x^2-1}}$	$(s) \frac{\pi}{2}$

यदि $\int_0^{2 \pi}\left(\sin ^4 x+\cos ^4 x\right) d x=K \int_0^\pi \sin ^2 x d x+L \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^2 x d x$ और $K, L \in N$ है,तो संभावित क्रमित युग्मों $(K, L)$ की संख्या क्या है?

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