यदि y = y(x) अवकल समीकरण (1 + e^{2x}) frac{dy | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(1 + e^{2x}) \frac{dy}{dx} + 2(1 + y^2)e^x = 0$.चरों को अलग करने पर:$\frac{dy}{1 + y^2} = -\frac{2e^x}{1 + e^{2x}} dx$.दोनो

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$-4$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(1 + e^{2x}) \frac{dy}{dx} + 2(1 + y^2)e^x = 0$.चरों को अलग करने पर:$\frac{dy}{1 + y^2} = -\frac{2e^x}{1 + e^{2x}} dx$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:$\int \frac{dy}{1 + y^2} = -\int \frac{2e^x}{1 + (e^x)^2} dx$.माना $u = e^x$,तब $du = e^x dx$. समाकलन करने पर:$	an^{-1}(y) = -2 	an^{-1}(e^x) + C$.$y(0) = 0$ दिया गया है,इसलिए $x = 0$ और $y = 0$ रखने पर:$	an^{-1}(0) = -2 	an^{-1}(e^0) + C \implies 0 = -2(\frac{\pi}{4}) + C \implies C = \frac{\pi}{2}$.अतः,हल $	an^{-1}(y) = \frac{\pi}{2} - 2 	an^{-1}(e^x)$ है।$y'(0)$ ज्ञात करने के लिए,मूल अवकल समीकरण में $x = 0$ रखने पर:$(1 + e^0) y'(0) + 2(1 + 0^2)e^0 = 0 \implies 2y'(0) + 2 = 0 \implies y'(0) = -1$.अब,$y(\log_e \sqrt{3})$ ज्ञात करते हैं:$	an^{-1}(y) = \frac{\pi}{2} - 2 	an^{-1}(e^{\log_e \sqrt{3}}) = \frac{\pi}{2} - 2 	an^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{2} - 2(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\pi}{6}$.इसलिए,$y = 	an(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.अतः $(y(\log_e \sqrt{3}))^2 = (-\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1}{3}$.अंत में,$6(y'(0) + (y(\log_e \sqrt{3}))^2) = 6(-1 + \frac{1}{3}) = 6(-\frac{2}{3}) = -4$.

यदि $y = y(x)$ अवकल समीकरण $(1 + e^{2x}) \frac{dy}{dx} + 2(1 + y^2)e^x = 0$ का हल है और $y(0) = 0$ है,तो $6(y'(0) + (y(\log_e \sqrt{3}))^2)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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