समीकरण frac{dy}{dx} = frac{1}{x+y+1} का हल ज् | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+y+1}$ है।माना $v = x+y+1$ है। तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$

Vedclass · Accepted Answer

$y = \log(x+y+2) + c$,जहाँ $c$ समाकलन स्थिरांक है

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+y+1}$ है।माना $v = x+y+1$ है। तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$ है।इन मानों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dv}{dx} - 1 = \frac{1}{v}$ प्राप्त होता है।पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{1}{v} = \frac{v+1}{v}$ प्राप्त होता है।चरों को अलग करने पर: $\frac{v}{v+1} dv = dx$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{v+1-1}{v+1} dv = \int dx$ प्राप्त होता है।इसे सरल करने पर $\int (1 - \frac{1}{v+1}) dv = \int dx$ मिलता है।समाकलन करने पर $v - \log|v+1| = x + c$ प्राप्त होता है।$v = x+y+1$ का मान वापस रखने पर: $(x+y+1) - \log|x+y+2| = x + c$ प्राप्त होता है।इसे सरल करने पर $y+1 - \log|x+y+2| = c$ मिलता है,या $y = \log|x+y+2| + C'$,जहाँ $C' = c-1$ एक स्थिरांक है।अतः,सही विकल्प $C$ है।

समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+y+1}$ का हल ज्ञात कीजिए।

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