बिंदु (1, 1) से गुजरने वाले वक्र का समीकरण ज् | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x dy = (2x^2 + 1) dx$ है।दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर ($x 
eq 0$ है),हमें $dy = (2x + \frac{1}{x}) dx$ प्राप्त हो

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$y = x^2 + \log |x|$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x dy = (2x^2 + 1) dx$ है।दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर ($x 
eq 0$ है),हमें $dy = (2x + \frac{1}{x}) dx$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int dy = \int (2x + \frac{1}{x}) dx$ प्राप्त होता है।इससे $y = x^2 + \log |x| + C$ प्राप्त होता है।चूंकि वक्र बिंदु $(1, 1)$ से गुजरता है,हम $x = 1$ और $y = 1$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:$1 = (1)^2 + \log |1| + C$.$1 = 1 + 0 + C$,जिसका अर्थ है $C = 0$.$C = 0$ का मान सामान्य हल में रखने पर,हमें अभीष्ट वक्र का समीकरण $y = x^2 + \log |x|$ प्राप्त होता है।

बिंदु $(1, 1)$ से गुजरने वाले वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए,जिसका अवकल समीकरण $x dy = (2x^2 + 1) dx$ $(x \neq 0)$ है।

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मान लीजिए कि $y = y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = (1+x^2)(1-y+y^2)$ का हल है, जहाँ $y(0) = \frac{1}{2}$ है। तो $(2y(1) - 1)$ का मान ज्ञात कीजिए:

अवकल समीकरण $(\sin x + \cos x)dy + (\cos x - \sin x)dx = 0$ का हल है

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$(x+y)^{2} \frac{dy}{dx} = a^{2}$ (जहाँ $a$ एक स्थिरांक है) का हल है:

अवकल समीकरण $(x-y^{2}) dx + y(5x+y^{2}) dy = 0$ का व्यापक हल है:

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