अवकल समीकरण (x-y^{2}) dx + y(5x+y^{2}) dy = 0 | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x-y^{2}) dx + y(5x+y^{2}) dy = 0$.इसे इस प्रकार लिखें: $\frac{dy}{dx} = \frac{y^{2}-x}{y(5x+y^{2})}$.माना $v = y^{2}$,तब $

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$(y^{2}+x)^{4} = C|y^{2}+2x|^{3}$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x-y^{2}) dx + y(5x+y^{2}) dy = 0$.इसे इस प्रकार लिखें: $\frac{dy}{dx} = \frac{y^{2}-x}{y(5x+y^{2})}$.माना $v = y^{2}$,तब $\frac{dv}{dx} = 2y \frac{dy}{dx}$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y} \frac{dv}{dx}$.समीकरण में मान रखने पर: $\frac{1}{2y} \frac{dv}{dx} = \frac{v-x}{y(5x+v)} \implies \frac{dv}{dx} = 2 \frac{v-x}{5x+v}$.माना $v = kx$,तब $\frac{dv}{dx} = k + x \frac{dk}{dx}$.$k + x \frac{dk}{dx} = 2 \frac{kx-x}{5x+kx} = 2 \frac{k-1}{5+k}$.$x \frac{dk}{dx} = \frac{2k-2}{k+5} - k = \frac{2k-2-k^{2}-5k}{k+5} = -\frac{k^{2}+3k+2}{k+5} = -\frac{(k+1)(k+2)}{k+5}$.चरों को अलग करने पर: $\int \frac{k+5}{(k+1)(k+2)} dk = -\int \frac{dx}{x}$.आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर: $\frac{k+5}{(k+1)(k+2)} = \frac{4}{k+1} - \frac{3}{k+2}$.समाकलन करने पर: $4 \ln|k+1| - 3 \ln|k+2| = -\ln|x| + \ln|C|$.$\ln|\frac{(k+1)^{4}}{(k+2)^{3}}| = \ln|\frac{C}{x}| \implies \frac{(k+1)^{4}}{(k+2)^{3}} = \frac{C}{x}$.$k = \frac{v}{x} = \frac{y^{2}}{x}$ रखने पर: $\frac{(\frac{y^{2}}{x}+1)^{4}}{(\frac{y^{2}}{x}+2)^{3}} = \frac{C}{x} \implies \frac{(y^{2}+x)^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{x^{3}}{(y^{2}+2x)^{3}} = \frac{C}{x}$.$(y^{2}+x)^{4} = C|y^{2}+2x|^{3}$.

अवकल समीकरण $(x-y^{2}) dx + y(5x+y^{2}) dy = 0$ का व्यापक हल है:

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