मान लीजिए कि y=y(x) अवकल समीकरण log _{e}left( | vedclass

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Question

(B) दिए गए अवकल समीकरण $\log _{e}\left(\frac{d y}{d x}\right)=3 x+4 y$ को $\frac{d y}{d x}=e^{3 x+4 y}=e^{3 x} \cdot e^{4 y}$ के रूप में लिखा जा सकता

Vedclass · Accepted Answer

$-\frac{1}{4}$

Vedclass · Answer

(B) दिए गए अवकल समीकरण $\log _{e}\left(\frac{d y}{d x}\right)=3 x+4 y$ को $\frac{d y}{d x}=e^{3 x+4 y}=e^{3 x} \cdot e^{4 y}$ के रूप में लिखा जा सकता है।चरों को अलग करने पर,$e^{-4 y} d y=e^{3 x} d x$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int e^{-4 y} d y=\int e^{3 x} d x$,जिससे $-\frac{1}{4} e^{-4 y}=\frac{1}{3} e^{3 x}+C$ प्राप्त होता है।प्रारंभिक स्थिति $y(0)=0$ का उपयोग करते हुए,$x=0$ और $y=0$ रखने पर: $-\frac{1}{4} e^{0}=\frac{1}{3} e^{0}+C \Rightarrow -\frac{1}{4}=\frac{1}{3}+C \Rightarrow C=-\frac{7}{12}$।अतः,$-\frac{1}{4} e^{-4 y}=\frac{1}{3} e^{3 x}-\frac{7}{12}$।$-12$ से गुणा करने पर,$3 e^{-4 y} = 7 - 4 e^{3 x}$,इसलिए $e^{-4 y} = \frac{7 - 4 e^{3 x}}{3}$।व्युत्क्रम लेने पर,$e^{4 y} = \frac{3}{7 - 4 e^{3 x}}$,इसलिए $4 y = \log _{e} \left(\frac{3}{7 - 4 e^{3 x}}\right)$।$x = -\frac{2}{3} \log _{e} 2$ के लिए,$e^{3 x} = e^{3 \left(-\frac{2}{3} \log _{e} 2\right)} = e^{-2 \log _{e} 2} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$।इस मान को $4y$ के समीकरण में रखने पर: $4 y = \log _{e} \left(\frac{3}{7 - 4(1/4)}\right) = \log _{e} \left(\frac{3}{6}\right) = \log _{e} \left(\frac{1}{2}\right) = -\log _{e} 2$।अतः,$y = -\frac{1}{4} \log _{e} 2$। इसे $y = \alpha \log _{e} 2$ के साथ तुलना करने पर,$\alpha = -\frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।

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