यदि lambda_1

Question

(D) समतलों $P_1$ और $P_2$ के अभिलंब सदिश क्रमशः $\vec{n}_1 = 3 \hat{i} - 5 \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{n}_2 = \lambda \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k}$ ह

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$315$

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(D) समतलों $P_1$ और $P_2$ के अभिलंब सदिश क्रमशः $\vec{n}_1 = 3 \hat{i} - 5 \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{n}_2 = \lambda \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k}$ हैं।दिया गया कोण $	heta = \sin^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{6}}{5}ight)$,इसलिए $\sin 	heta = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$.अतः,$\cos 	heta = \sqrt{1 - \sin^2 	heta} = \sqrt{1 - \frac{24}{25}} = \frac{1}{5}$.दो समतलों के बीच का कोण $\cos 	heta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|}$ द्वारा दिया जाता है।$|\vec{n}_1| = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + 1^2} = \sqrt{35}$.$|\vec{n}_2| = \sqrt{\lambda^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{\lambda^2 + 10}$.$\frac{1}{5} = \frac{|3\lambda - 8|}{\sqrt{35} \sqrt{\lambda^2 + 10}}$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{25} = \frac{(3\lambda - 8)^2}{35(\lambda^2 + 10)} \Rightarrow 38\lambda^2 - 240\lambda + 250 = 0 \Rightarrow 19\lambda^2 - 120\lambda + 125 = 0$.$(19\lambda - 25)(\lambda - 5) = 0$,इसलिए $\lambda_1 = \frac{25}{19}$ और $\lambda_2 = 5$.बिंदु $(38 	imes \frac{25}{19}, 10 	imes 5, 2) = (50, 50, 2)$ है।समतल $P_1$ से लंबवत दूरी $d = \frac{|3(50) - 5(50) + 1(2) - 7|}{\sqrt{35}} = \frac{105}{\sqrt{35}}$.दूरी का वर्ग $\left(\frac{105}{\sqrt{35}}ight)^2 = \frac{11025}{35} = 315$.

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