यदि frac{{}^{11}C_1}{2} + frac{{}^{11}C_2}{3} | vedclass

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Question

(A) हम सर्वसमिका $\frac{{}^nC_r}{r+1} = \frac{{}^{n+1}C_{r+1}}{n+1}$ का उपयोग करते हैं।दिया गया योग $S = \sum_{r=1}^9 \frac{{}^{11}C_r}{r+1}$ है।सर्वस

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$2041$

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(A) हम सर्वसमिका $\frac{{}^nC_r}{r+1} = \frac{{}^{n+1}C_{r+1}}{n+1}$ का उपयोग करते हैं।दिया गया योग $S = \sum_{r=1}^9 \frac{{}^{11}C_r}{r+1}$ है।सर्वसमिका लागू करने पर,$S = \sum_{r=1}^9 \frac{{}^{12}C_{r+1}}{12} = \frac{1}{12} \sum_{k=2}^{10} {}^{12}C_k$।हम जानते हैं कि $\sum_{k=0}^{12} {}^{12}C_k = 2^{12} = 4096$।अतः,$\sum_{k=2}^{10} {}^{12}C_k = 2^{12} - ({}^{12}C_0 + {}^{12}C_1 + {}^{12}C_{11} + {}^{12}C_{12})$।$= 4096 - (1 + 12 + 12 + 1) = 4096 - 26 = 4070$।इस प्रकार,$S = \frac{4070}{12} = \frac{2035}{6}$।चूंकि $\gcd(2035, 6) = 1$ है,इसलिए $n = 2035$ और $m = 6$ है।अतः,$n + m = 2035 + 6 = 2041$।

यदि $\frac{{}^{11}C_1}{2} + \frac{{}^{11}C_2}{3} + \dots + \frac{{}^{11}C_9}{10} = \frac{n}{m}$ जहाँ $\gcd(n, m) = 1$ है,तो $n + m$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि ${C_0}, {C_1}, {C_2}, ......., {C_n}$ द्विपद गुणांक हैं,तो $2.{C_1} + {2^3}.{C_3} + {2^5}.{C_5} + ....$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $(1+2x)^{20} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_{20}x^{20}$ है। तो $3a_0 + 2a_1 + 3a_2 + 2a_3 + 3a_4 + 2a_5 + \dots + 2a_{19} + 3a_{20}$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित कथनों के संबंध में सही विकल्प चुनें:
$1$. $C_0+C_2+C_4+\ldots+C_n=2^{n-1}$,यदि $n$ सम है
$2$. $C_1+C_3+C_5+\ldots+C_{n-1}=2^{n-1}$,यदि $n$ सम है

$\frac{1}{1!(n - 1)!} + \frac{1}{3!(n - 3)!} + \frac{1}{5!(n - 5)!} + \dots = $

यदि $\sum\limits_{i = 0}^4 {^{4 + i}} {C_i} + \sum\limits_{j = 6}^9 {^{3 + j}} {C_j} = {\,^x}{C_y}$ ($x$ एक अभाज्य संख्या है),तो निम्नलिखित में से कौन सा गलत है?

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