यदि S = {a in R : |2a - 1| = 3[a] + 2{a}},जहा | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण: $|2a - 1| = 3[a] + 2\{a\}$.चूंकि $a = [a] + \{a\}$,इसलिए $2\{a\} = 2a - 2[a]$.समीकरण में मान रखने पर: $|2a - 1| = 3[a] + 2a - 2[a

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$18$

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(A) दिया गया समीकरण: $|2a - 1| = 3[a] + 2\{a\}$.चूंकि $a = [a] + \{a\}$,इसलिए $2\{a\} = 2a - 2[a]$.समीकरण में मान रखने पर: $|2a - 1| = 3[a] + 2a - 2[a] = [a] + 2a$.स्थिति $1$: $a \ge \frac{1}{2}$.तब $2a - 1 = [a] + 2a$,जिसका अर्थ है $[a] = -1$.चूंकि $[a] = -1$,इसलिए $a \in [-1, 0)$. लेकिन यह शर्त $a \ge \frac{1}{2}$ का विरोधाभास करती है। अतः,इस स्थिति में कोई हल नहीं है।स्थिति $2$: $a तब $-(2a - 1) = [a] + 2a$,जो $1 - 2a = [a] + 2a$ या $4a = 1 - [a]$ में बदल जाता है।माना $a = I + f$,जहाँ $I = [a]$ और $f = \{a\} \in [0, 1)$.तब $4(I + f) = 1 - I$,इसलिए $5I + 4f = 1$.चूंकि $0 \le f अतः,$0 \le 1 - 5I यदि $I = 0$,तो $4f = 1 \implies f = \frac{1}{4}$. अतः $a = 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.यदि $I = -1$,तो $5(-1) + 4f = 1 \implies 4f = 6 \implies f = 1.5$,जो संभव नहीं है क्योंकि $f अतः,एकमात्र हल $a = \frac{1}{4}$ है।अंत में,$72 \sum_{a \in S} a = 72 	imes \frac{1}{4} = 18$.

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