यदि lim_{x rightarrow 0} [1 + x ln(1 + b^2)]^ | vedclass

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Question

(D) हम मानक सीमा सूत्र $\lim_{x \rightarrow 0} (1 + f(x))^{\frac{1}{g(x)}} = e^{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)}}$ का उपयोग करते हैं।दी गई अभि

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$\pm \frac{\pi}{2}$

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(D) हम मानक सीमा सूत्र $\lim_{x ightarrow 0} (1 + f(x))^{\frac{1}{g(x)}} = e^{\lim_{x ightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)}}$ का उपयोग करते हैं।दी गई अभिव्यक्ति $\lim_{x ightarrow 0} [1 + x \ln(1 + b^2)]^{\frac{1}{x}}$ के लिए,$f(x) = x \ln(1 + b^2)$ और $g(x) = x$ है।अतः,सीमा $e^{\lim_{x ightarrow 0} \frac{x \ln(1 + b^2)}{x}} = e^{\ln(1 + b^2)} = 1 + b^2$ है।इसे दी गई अभिव्यक्ति के बराबर रखने पर: $1 + b^2 = 2b \sin^2 	heta$।$\sin^2 	heta$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sin^2 	heta = \frac{1 + b^2}{2b} = \frac{1}{2} (b + \frac{1}{b})$ प्राप्त होता है।चूंकि $b > 0$,$AM-GM$ असमिका के अनुसार,$b + \frac{1}{b} \geq 2$,जो यह दर्शाता है कि $\sin^2 	heta \geq 1$ है।चूंकि $\sin^2 	heta$ का अधिकतम मान $1$ है,इसलिए $\sin^2 	heta = 1$ होना चाहिए।इसका अर्थ है $\sin 	heta = \pm 1$,अतः $	heta = \pm \frac{\pi}{2}$।

यदि $\lim_{x \rightarrow 0} [1 + x \ln(1 + b^2)]^{\frac{1}{x}} = 2b \sin^2 \theta$,जहाँ $b > 0$ और $\theta \in (-\pi, \pi]$ है,तो $\theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \log (\cos x)}{\log (1+x^2)} = $

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left[\left(\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{2^2 \cdot 3}\right)+\left(\frac{1}{2^2 \cdot 3^2}+\frac{1}{2^3 \cdot 3^2}\right)+\ldots+\left(\frac{1}{2^n \cdot 3^n}+\frac{1}{2^{n+1} \cdot 3^n}\right)\right]$ का मान है

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