यदि y(x) अवकल समीकरण x dy - (y^2 - 4y) dx = 0 | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x dy = (y^2 - 4y) dx$ जहाँ $x > 0$ है। चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dy}{y^2 - 4y} = \int \frac{dx}{x}$। आंशिक भिन्नों क

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$8$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x dy = (y^2 - 4y) dx$ जहाँ $x > 0$ है। चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dy}{y^2 - 4y} = \int \frac{dx}{x}$। आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर: $\int \frac{1}{4} (\frac{1}{y-4} - \frac{1}{y}) dy = \int \frac{dx}{x}$। $4$ से गुणा करने पर: $\int (\frac{1}{y-4} - \frac{1}{y}) dy = 4 \int \frac{dx}{x}$। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln|y-4| - \ln|y| = 4 \ln x + \ln c$। यह सरल होकर: $\ln|\frac{y-4}{y}| = \ln(cx^4)$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $\frac{y-4}{y} = cx^4$। $y(1) = 2$ दिया गया है,इसलिए $x=1, y=2$ रखने पर: $\frac{2-4}{2} = c(1)^4 \Rightarrow c = -1$। अतः,$\frac{y-4}{y} = -x^4 \Rightarrow y-4 = -yx^4 \Rightarrow y(1+x^4) = 4 \Rightarrow y = \frac{4}{1+x^4}$। हमें $10y(\sqrt{2})$ का मान ज्ञात करना है। $y(\sqrt{2}) = \frac{4}{1+(\sqrt{2})^4} = \frac{4}{1+4} = \frac{4}{5}$। इसलिए,$10y(\sqrt{2}) = 10 	imes \frac{4}{5} = 8$।

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