यदि M = begin{bmatrix} frac{5}{2} & frac{3}{2 | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $M = \begin{bmatrix} \frac{5}{2} & \frac{3}{2} \ -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$.हम $M$ को $M = I + \frac{3}{2} A$ के रूप

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$\begin{bmatrix} 3034 & 3033 \ -3033 & -3032 \end{bmatrix}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $M = \begin{bmatrix} \frac{5}{2} & \frac{3}{2} \ -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$.हम $M$ को $M = I + \frac{3}{2} A$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ -1 & -1 \end{bmatrix}$ है।सबसे पहले,$A^2$ की गणना करें:$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ -1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \ -1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-1 & 1-1 \ -1+1 & -1+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix} = O$.चूँकि $A^2 = O$,हम $(I + \frac{3}{2} A)^n$ के लिए द्विपद विस्तार का उपयोग कर सकते हैं:$M^n = (I + \frac{3}{2} A)^n = I^n + n(I^{n-1})(\frac{3}{2} A) + \frac{n(n-1)}{2} I^{n-2} (\frac{3}{2} A)^2 + \dots$चूँकि $A^2 = O$,$A^k$ (जहाँ $k \ge 2$) वाले सभी पद शून्य हो जाएंगे।अतः,$M^n = I + n \cdot \frac{3}{2} A$.$n = 2022$ के लिए:$M^{2022} = I + 2022 \cdot \frac{3}{2} A = I + 3033 A$.$M^{2022} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix} + 3033 \begin{bmatrix} 1 & 1 \ -1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+3033 & 0+3033 \ 0-3033 & 1-3033 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3034 & 3033 \ -3033 & -3032 \end{bmatrix}$.

यदि $M = \begin{bmatrix} \frac{5}{2} & \frac{3}{2} \\ -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा आव्यूह $M^{2022}$ के बराबर है?

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