यदि sum_{r=0}^5 frac{{}^{11}C_{2r+1}}{2r+2} = | vedclass

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Question

(B) $(1+x)^{11} = \sum_{k=0}^{11} {}^{11}C_k x^k$ का $0$ से $1$ तक समाकलन करने पर,$\int_0^1 (1+x)^{11} dx = \sum_{k=0}^{11} \frac{{}^{11}C_k}{k+1} = \

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$2035$

Vedclass · Answer

(B) $(1+x)^{11} = \sum_{k=0}^{11} {}^{11}C_k x^k$ का $0$ से $1$ तक समाकलन करने पर,$\int_0^1 (1+x)^{11} dx = \sum_{k=0}^{11} \frac{{}^{11}C_k}{k+1} = \frac{2^{12}-1}{12}$ प्राप्त होता है।$-1$ से $0$ तक समाकलन करने पर,$\int_{-1}^0 (1+x)^{11} dx = \sum_{k=0}^{11} \frac{{}^{11}C_k (-1)^k}{k+1} = \frac{1}{12}$ प्राप्त होता है।दोनों परिणामों को घटाने पर: $\sum_{k=0}^{11} \frac{{}^{11}C_k (1 - (-1)^k)}{k+1} = \frac{2^{12}-2}{12} = \frac{2^{11}-1}{6}$।इस योग में केवल विषम $k$ वाले पद ही बचेंगे,अर्थात $k = 2r+1$।अतः,$2 \sum_{r=0}^5 \frac{{}^{11}C_{2r+1}}{2r+2} = \frac{2^{11}-1}{6}$,जिसका अर्थ है कि $\sum_{r=0}^5 \frac{{}^{11}C_{2r+1}}{2r+2} = \frac{2047}{12}$।यहाँ $m = 2047$ और $n = 12$ है। इसलिए $m - n = 2047 - 12 = 2035$।

यदि $\sum_{r=0}^5 \frac{{}^{11}C_{2r+1}}{2r+2} = \frac{m}{n}$,$\text{gcd}(m, n) = 1$ है,तो $m - n$ का मान . . . . . . है।

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