यदि {x_n} = cos left( frac{pi }{4^n} right) + | vedclass

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Question

(A) दिया गया है ${x_n} = \cos \left( \frac{\pi }{4^n} \right) + i \sin \left( \frac{\pi }{4^n} \right)$.सम्मिश्र संख्याओं के गुणधर्म का उपयोग करते हुए

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$\frac{1 + i\sqrt{3}}{2}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है ${x_n} = \cos \left( \frac{\pi }{4^n} \right) + i \sin \left( \frac{\pi }{4^n} \right)$.सम्मिश्र संख्याओं के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,${x_1} \cdot {x_2} \cdot {x_3} \dots \infty = \prod_{n=1}^{\infty} \left( \cos \left( \frac{\pi }{4^n} \right) + i \sin \left( \frac{\pi }{4^n} \right) \right)$.यह $\cos \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi }{4^n} \right) + i \sin \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi }{4^n} \right)$ के बराबर है।अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi }{4^n} = \frac{\pi/4}{1 - 1/4} = \frac{\pi/4}{3/4} = \frac{\pi}{3}$ है।अतः,व्यंजक $\cos \left( \frac{\pi}{3} \right) + i \sin \left( \frac{\pi}{3} \right)$ बन जाता है।$= \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}$.

यदि ${x_n} = \cos \left( \frac{\pi }{4^n} \right) + i \sin \left( \frac{\pi }{4^n} \right)$ है,तो ${x_1} \cdot {x_2} \cdot {x_3} \dots \infty = $

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