यदि $x = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{a^n}} ,\;y = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{b^n},\;z = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{{(ab)}^n}} } $,जहाँ $a, b < 1$,तो

यदि $x, y, z$ $G.P.$ में हैं और $a^x = b^y = c^z$ है,तो

$n$ भुजाओं वाले उत्तल बहुभुज के आंतरिक कोण $G.P.$ में हैं। सबसे छोटा कोण $1^\circ$ है और सार्व अनुपात $2$ है। तो $n$ के संभावित मानों की संख्या है:

प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का गुणोत्तर माध्य ज्ञात कीजिए।

फलन $f(\theta) = \alpha \tan^2 \theta + \beta \cot^2 \theta$ और $g(\theta) = \alpha \sin^2 \theta + \beta \cos^2 \theta$ के लिए, जहाँ $\alpha > \beta > 0$, मान लीजिए $\min_{0 < \theta < \pi/2} f(\theta) = \max_{0 < \theta < \pi} g(\theta)$ है। यदि एक गुणोत्तर श्रेणी ($G$.$P$.) का प्रथम पद $(\frac{\alpha}{2\beta})$ है, इसका सार्व अनुपात $(\frac{2\beta}{\alpha})$ है और इसके प्रथम $10$ पदों का योग $\frac{m}{n}$ है, जहाँ $\gcd(m,n)=1$, तो $m+n$ का मान . . . . . . है।

मान लीजिए $\alpha, \beta, \gamma$ $(\alpha < \beta < \gamma)$ समीकरण $ax^3+bx^2+cx+d=0$ के मूल हैं और $u, v, w$ $(u < v < w)$ समीकरण $ak^3x^3+bk^2x^2+ckx+d=0$ के मूल हैं। यदि $\beta^2=\alpha \gamma$ है,तो: