यदि alpha और beta समीकरण {x^2} + px + q = 0 क | vedclass

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Question

(C) समीकरण ${x^2} + px + q = 0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha + \beta = -p$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = q$ है।समीकरण ${x^2} + rx + s = 0$ के लिए,

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${p^2} - 4q = {r^2} - 4s$

Vedclass · Answer

(C) समीकरण ${x^2} + px + q = 0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha + \beta = -p$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = q$ है।समीकरण ${x^2} + rx + s = 0$ के लिए,मूल $\alpha + h$ और $\beta + h$ हैं। अतः,मूलों का योग $(\alpha + h) + (\beta + h) = -r$ है,जो सरल होकर $(\alpha + \beta) + 2h = -r$ हो जाता है। $\alpha + \beta = -p$ प्रतिस्थापित करने पर,$-p + 2h = -r$ प्राप्त होता है,इसलिए $h = \frac{p - r}{2}$।दूसरे समीकरण के लिए मूलों का गुणनफल $(\alpha + h)(\beta + h) = s$ है,जो विस्तारित होकर $\alpha \beta + h(\alpha + \beta) + {h^2} = s$ हो जाता है। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$q + h(-p) + {h^2} = s$ प्राप्त होता है। $h = \frac{p - r}{2}$ रखने पर,$q - p\left( \frac{p - r}{2} \right) + \left( \frac{p - r}{2} \right)^2 = s$ प्राप्त होता है। $4$ से गुणा करने पर,$4q - 2p(p - r) + (p - r)^2 = 4s$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $4q - 2p^2 + 2pr + p^2 + r^2 - 2pr = 4s$ हो जाता है। इससे $4q - p^2 + r^2 = 4s$ या ${p^2} - 4q = {r^2} - 4s$ प्राप्त होता है।

यदि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण ${x^2} + px + q = 0$ के मूल हैं और $\alpha + h$ तथा $\beta + h$ समीकरण ${x^2} + rx + s = 0$ के मूल हैं,तो

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