यदि $\alpha = ^mC_2$ है,तो $^\alpha C_2$ का मान क्या होगा?

एक व्यक्ति अपना $4-$अंकीय $ATM$ पिन कोड भूल जाता है। लेकिन उसे याद है कि कोड में सभी अंक अलग-अलग हैं,सबसे बड़ा अंक $7$ है और पहले दो अंकों का योग अंतिम दो अंकों के योग के बराबर है। तो सही कोड प्राप्त करने के लिए आवश्यक अधिकतम प्रयासों की संख्या $...........$ है।

अंकों $0, 2, 3, 4, 6, 7$ का उपयोग करके बंद अंतराल $[2022, 4482]$ में आने वाली $4$-अंकीय पूर्णांकों की संख्या है:

${ }^{34} C_5+\sum_{r=0}^4{ }^{(38-r)} C_4=$

पूर्णांक $n$ और $r$ के लिए,मान लीजिए $\binom{n}{r} = \begin{cases} ^{n}C_{r}, & \text{यदि } n \geq r \geq 0 \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases}$. $k$ का अधिकतम मान जिसके लिए योग $\sum_{i=0}^{k}\binom{10}{i}\binom{15}{k-i} + \sum_{i=0}^{k+1}\binom{12}{i}\binom{13}{k+1-i}$ मौजूद है,वह ...... के बराबर है।

यदि $x$ और $y$ ऐसे अंक हैं कि $17! = 355687428096000$ है, तो $x+y$ का मान ज्ञात कीजिए।