यदि $^nC_r = 84$,$^nC_{r-1} = 36$,और $^nC_{r+1} = 126$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि ${}^n C_r$ $n$ वस्तुओं में से $r$ वस्तुओं को एक साथ लेने के संयोजनों की संख्या को दर्शाता है,तो व्यंजक ${}^n C_{r+1} + {}^n C_{r-1} + 2{}^n C_r$ किसके बराबर है?

$5$ भारतीयों,$5$ अमेरिकियों और $5$ ऑस्ट्रेलियाई लोगों में से $6$ सदस्यों की एक समिति बनाने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए,ताकि समिति में प्रत्येक देश से कम से कम एक सदस्य हो।

कथन-$1$: $10$ समान गेंदों को $4$ अलग-अलग बक्सों में $^9C_3$ तरीकों से वितरित किया जा सकता है ताकि कोई भी बक्सा खाली न रहे।
कथन-$2$: $9$ स्थानों में से किन्हीं $3$ स्थानों को $^9C_3$ तरीकों से चुना जा सकता है।

एक प्रश्न पत्र दो भागों,$A$ और $B$ में विभाजित है,जिनमें से प्रत्येक में $5$ प्रश्न हैं। यदि किसी उम्मीदवार को कुल $6$ प्रश्नों का चयन करना है,तो वह कितने तरीकों से चयन कर सकता है यदि उसे प्रत्येक भाग से कम से कम $2$ प्रश्न चुनने हों?

$52$ ताश के पत्तों की एक गड्डी में से $5$ पत्तों के कितने संयोजन बनाए जा सकते हैं यदि $5$ पत्तों के प्रत्येक चयन में ठीक एक राजा (king) हो?