જો $^nC_3 + ^nC_4 > ^{n+1}C_3$ હોય,તો

દુકાનમાં $5$ પ્રકારની આઈસ્ક્રીમ ઉપલબ્ધ છે. એક બાળક $6$ આઈસ્ક્રીમ ખરીદે છે.
વિધાન-$1$: બાળક $6$ આઈસ્ક્રીમ $^{10}C_5$ રીતે ખરીદી શકે છે.
વિધાન-$2$: બાળક $6$ આઈસ્ક્રીમ ખરીદી શકે તે રીતોની સંખ્યા એ $6$ '$A$' અને $4$ '$B$' ને હારમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા જેટલી છે.

એક વિદ્યાર્થીને પરીક્ષામાં $13$ માંથી $10$ પ્રશ્નોના જવાબ આપવા માટે કહેવામાં આવે છે,જેથી તેણે પ્રથમ પાંચ પ્રશ્નોમાંથી ઓછામાં ઓછા ચાર પ્રશ્નોના જવાબ આપવા જ પડે. તેની પાસે ઉપલબ્ધ વિકલ્પોની સંખ્યા છે

$6$ પુરુષો અને $4$ સ્ત્રીઓમાંથી $5$ સભ્યોની સમિતિ કેટલી રીતે બનાવી શકાય જો સમિતિમાં ઓછામાં ઓછી એક સ્ત્રી હોય?

એક થેલીમાં $5$ લાલ લખોટીઓ,$4$ કાળી લખોટીઓ અને $3$ સફેદ લખોટીઓ છે. $4$ લખોટીઓ એવી રીતે પસંદ કરવાની છે કે જેથી વધુમાં વધુ $2$ લાલ હોય,તો તે કેટલા પ્રકારે કરી શકાય?

એક ગામમાં $10$ ખેલાડીઓ છે. $6$ ખેલાડીઓની એક ટીમ બનાવવાની છે. આ $10$ ખેલાડીઓમાંથી $5$ સભ્યો પસંદ કરવામાં આવે છે અને ત્યારબાદ બાકીના $5$ ખેલાડીઓમાંથી કેપ્ટન પસંદ કરવામાં આવે છે. આવી ટીમ પસંદ કરવાની કુલ રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?