यदि x neq 0 के लिए f(x) = log(sec^2 x)^{cot^2 | vedclass

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Question

(C) किसी फलन के $x=0$ पर सतत होने के लिए,शर्त $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0)$ का पालन होना चाहिए।दिया गया है $f(0) = K+1$.हम सीमा का मूल्यांकन कर

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(C) किसी फलन के $x=0$ पर सतत होने के लिए,शर्त $\lim_{x ightarrow 0} f(x) = f(0)$ का पालन होना चाहिए।दिया गया है $f(0) = K+1$.हम सीमा का मूल्यांकन करते हैं: $L = \lim_{x ightarrow 0} \log(\sec^2 x)^{\cot^2 x}$.लघुगणक के गुण का उपयोग करते हुए,$L = \lim_{x ightarrow 0} \cot^2 x \cdot \log(\sec^2 x)$.चूंकि $\sec^2 x = 1 + 	an^2 x$,हमारे पास $L = \lim_{x ightarrow 0} \frac{\log(1 + 	an^2 x)}{	an^2 x}$ है।मान लीजिए $u = 	an^2 x$ है। जैसे $x ightarrow 0$,$u ightarrow 0$ होता है। सीमा $\lim_{u ightarrow 0} \frac{\log(1+u)}{u}$ बन जाती है।मानक सीमा $\lim_{u ightarrow 0} \frac{\log(1+u)}{u} = 1$ का उपयोग करते हुए,हमें $L = 1$ प्राप्त होता है।सीमा को $f(0)$ के बराबर रखने पर,$1 = K+1$ प्राप्त होता है।अतः,$K = 0$।

यदि $x \neq 0$ के लिए $f(x) = \log(\sec^2 x)^{\cot^2 x}$ और $x=0$ के लिए $f(x) = K+1$ है और यह $x=0$ पर सतत है,तो $K$ का मान ज्ञात कीजिए।

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वह $x$ का मान(मानों) जिसके लिए फलन $f(x) = \begin{cases} 1-x, & x < 1 \\ (1-x)(2-x), & 1 \leq x \leq 2 \\ 3-x, & x > 2 \end{cases}$ संतत नहीं है,वह है:

फलन $f(x) = \begin{cases} sgn([x]) & x \notin I \\ [sgn(x)] & x \in I \end{cases}$ है (जहाँ $sgn()$ सिग्नम फलन को दर्शाता है और $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है):

जाँच कीजिए कि क्या $f(x) = x^{2}$ द्वारा दिया गया फलन $f$,$x = 0$ पर संतत है।

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