एक फलन $f(x)$ इस प्रकार परिभाषित है: $f(x) = \begin{cases} x^m \sin \frac{1}{x} & x \neq 0, m \in N \\ 0 & x = 0 \end{cases}$. $m$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $f'(x)$,$x = 0$ पर सतत है।

यदि $f(x) = x^3 + 7x - 1$ है,तो $x = 0$ और $x = 1$ के बीच $f(x)$ का एक शून्य है। इस स्थिति का सबसे अच्छा वर्णन करने वाला प्रमेय कौन सा है?

यदि $f(x) = \begin{cases} [x] + [-x], & x \neq 2 \\ \lambda, & x = 2 \end{cases}$ बिंदु $x = 2$ पर सतत है,तो $\lambda = $ (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है)।

दर्शाइए कि फलन $f$ जो $f(x) = \begin{cases} x^3 + 3, & \text{यदि } x \neq 0 \\ 1, & \text{यदि } x = 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है,$x = 0$ पर संतत नहीं है।

यदि फलन $f(x) = \begin{cases} -2 \sin x, & x \leq \frac{-\pi}{2} \\ A \sin x+B, & \frac{-\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} \\ \cos x, & x \geq \frac{\pi}{2} \end{cases}$ सर्वत्र सतत है,तो $A$ और $B$ के मान क्रमशः क्या होंगे?

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} \frac{ax^{2}+2ax+3}{4x^{2}+4x-3}, & x \neq -\frac{3}{2}, \frac{1}{2} \\ b, & x = -\frac{3}{2}, \frac{1}{2} \end{cases}$ बिंदु $x=-\frac{3}{2}$ पर सतत है। यदि $f(f(x)) = \frac{7}{5}$ है, तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए: