यदि $f(x) = \begin{cases} x^2 + \alpha, & x \ge 0 \\ 2\sqrt{x^2 + 1} + \beta, & x < 0 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है और $f(\frac{1}{2}) = 2$ है,तो $\alpha^2 + \beta^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} \frac{1 + \cos 2\pi x}{1 - \sin \pi x}, & x < \frac{1}{2} \\ p, & x = \frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{2x - 1}}{\sqrt{4 + \sqrt{2x - 1}} - 2}, & x > \frac{1}{2} \end{cases}$ है। यदि $f(x)$,$x = \frac{1}{2}$ पर असंतत है,तो:

मान लीजिए $f(x) = x^3$, $x \in [-1, 1]$ है। तो निम्नलिखित में से कौन से सही हैं?

मान लीजिए $[t]$ उस महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है जो $t$ से कम या उसके बराबर है। मान लीजिए $f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ एक फलन है जिसे $f(x) = [\frac{x}{2} + 3] - [\sqrt{x}]$ द्वारा परिभाषित किया गया है। मान लीजिए $S$ अंतराल $[0, 8]$ में उन सभी बिंदुओं का समुच्चय है जहाँ $f$ संतत नहीं है। तो $\sum_{a \in S} a$ का मान ज्ञात कीजिए।

फलन $f(x) = \frac{1 - \sin x + \cos x}{1 + \sin x + \cos x}$,$x = \pi$ पर परिभाषित नहीं है। $f(\pi)$ का मान ज्ञात कीजिए ताकि $f(x)$,$x = \pi$ पर सतत हो।

यदि $f(x) = \begin{cases} x - 1, & x < 0 \\ \frac{1}{4}, & x = 0 \\ x^2, & x > 0 \end{cases}$ है,तो