यदि x frac{dy}{dx} = y(log y - log x + 1) है, | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} = y(\log(\frac{y}{x}) + 1)$.$x$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}(\log(\frac{y}{x}) + 1)$.माना $

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$\log \frac{y}{x} = cx$,जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है

Vedclass · Answer

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} = y(\log(\frac{y}{x}) + 1)$.$x$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}(\log(\frac{y}{x}) + 1)$.माना $v = \frac{y}{x}$,इसलिए $y = vx$ और $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v(\log v + 1)$.$v + x \frac{dv}{dx} = v \log v + v$.$x \frac{dv}{dx} = v \log v$.चरों को अलग करने पर: $\frac{dv}{v \log v} = \frac{dx}{x}$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{v \log v} dv = \int \frac{1}{x} dx$.माना $u = \log v$,तो $du = \frac{1}{v} dv$. समाकलन $\int \frac{1}{u} du = \int \frac{1}{x} dx$ बन जाता है.$\log|u| = \log|x| + \log|c|$.$\log|\log v| = \log|cx|$.$\log v = cx$.$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर: $\log(\frac{y}{x}) = cx$.

यदि $x \frac{dy}{dx} = y(\log y - \log x + 1)$ है,तो समीकरण का हल क्या है?

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