જો (x^2+y^2) dy = xy dx,જ્યાં y(x_0) = e અને | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x^2+y^2) dy = xy dx$. તેને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2+y^2}$. આ એક સમપરિમાણ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,

Vedclass · Accepted Answer

$\sqrt{3} e$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x^2+y^2) dy = xy dx$. તેને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2+y^2}$. આ એક સમપરિમાણ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$. સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x(vx)}{x^2+(vx)^2} = \frac{vx^2}{x^2(1+v^2)} = \frac{v}{1+v^2}$. $x \frac{dv}{dx} = \frac{v}{1+v^2} - v = \frac{v - v - v^3}{1+v^2} = -\frac{v^3}{1+v^2}$. ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{1+v^2}{v^3} dv = -\int \frac{dx}{x}$. $\int (v^{-3} + v^{-1}) dv = -\ln|x| + C$. $-\frac{1}{2v^2} + \ln|v| = -\ln|x| + C$. $-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y/x| = -\ln|x| + C$. $-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| - \ln|x| = -\ln|x| + C$. $-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = C$. $y(1) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા: $-\frac{1^2}{2(1)^2} + \ln(1) = C \Rightarrow C = -\frac{1}{2}$. તેથી,$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = -\frac{1}{2}$. $y(x_0) = e$ માટે: $-\frac{x_0^2}{2e^2} + \ln(e) = -\frac{1}{2}$. $-\frac{x_0^2}{2e^2} + 1 = -\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{x_0^2}{2e^2} = \frac{3}{2}$. $x_0^2 = 3e^2 \Rightarrow x_0 = \sqrt{3}e$.

જો $(x^2+y^2) dy = xy dx$,જ્યાં $y(x_0) = e$ અને $y(1) = 1$ હોય,તો $x_0$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

સાબિત કરો કે વિકલ સમીકરણ $\left(1+e^{\frac{x}{y}}\right) dx+e^{\frac{x}{y}}\left(1-\frac{x}{y}\right) dy=0$ એ સમપરિમાણીય સમીકરણ છે અને તેનો ઉકેલ મેળવો.

$y' = \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}$ અને $y(1) = 2$ નું સમાધાન કરતા સંકલિત વક્રનો $(1, 0)$ બિંદુએ ઢાળ કેટલો થાય?

વિકલ સમીકરણ $x \, dy - y \, dx = \sqrt{x^2 + y^2} \, dx$ નો ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module