यदि (x^2+y^2) dy = xy dx,जहाँ y(x_0) = e और y | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x^2+y^2) dy = xy dx$. इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2+y^2}$. यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना

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$\sqrt{3} e$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x^2+y^2) dy = xy dx$. इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2+y^2}$. यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$. समीकरण में मान रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x(vx)}{x^2+(vx)^2} = \frac{vx^2}{x^2(1+v^2)} = \frac{v}{1+v^2}$. $x \frac{dv}{dx} = \frac{v}{1+v^2} - v = \frac{v - v - v^3}{1+v^2} = -\frac{v^3}{1+v^2}$. चरों को अलग करने पर: $\int \frac{1+v^2}{v^3} dv = -\int \frac{dx}{x}$. $\int (v^{-3} + v^{-1}) dv = -\ln|x| + C$. $-\frac{1}{2v^2} + \ln|v| = -\ln|x| + C$. $-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y/x| = -\ln|x| + C$. $-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| - \ln|x| = -\ln|x| + C$. $-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = C$. $y(1) = 1$ का उपयोग करने पर: $-\frac{1^2}{2(1)^2} + \ln(1) = C \Rightarrow C = -\frac{1}{2}$. अतः,$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = -\frac{1}{2}$. $y(x_0) = e$ के लिए: $-\frac{x_0^2}{2e^2} + \ln(e) = -\frac{1}{2}$. $-\frac{x_0^2}{2e^2} + 1 = -\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{x_0^2}{2e^2} = \frac{3}{2}$. $x_0^2 = 3e^2 \Rightarrow x_0 = \sqrt{3}e$.

यदि $(x^2+y^2) dy = xy dx$,जहाँ $y(x_0) = e$ और $y(1) = 1$ है,तो $x_0$ का मान क्या होगा:

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अवकल समीकरण $y \sin \left(\frac{x}{y}\right) dx = \left\{x \sin \left(\frac{x}{y}\right) - y\right\} dy$ का हल, जो $y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$ को संतुष्ट करता है, है

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