यदि (a+bx) e^{frac{y}{x}}=x है,तो x^3 frac{d^ | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $(a+bx) e^{\frac{y}{x}}=x$. दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln(a+bx) + \frac{y}{x} = \ln x$. पुनर्व्यवस्थित करने पर $\frac

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$\left(x \frac{dy}{dx}-y\right)^2$

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(B) दिया गया है $(a+bx) e^{\frac{y}{x}}=x$. दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln(a+bx) + \frac{y}{x} = \ln x$. पुनर्व्यवस्थित करने पर $\frac{y}{x} = \ln x - \ln(a+bx) = \ln \left(\frac{x}{a+bx}\right)$ प्राप्त होता है। अतः,$y = x \ln \left(\frac{x}{a+bx}\right)$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = \ln \left(\frac{x}{a+bx}\right) + x \cdot \frac{a+bx}{x} \cdot \frac{(a+bx)(1) - x(b)}{(a+bx)^2} = \frac{y}{x} + \frac{a}{(a+bx)}$. इस प्रकार,$x \frac{dy}{dx} = y + \frac{ax}{a+bx}$. पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $x \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dx} + \frac{(a+bx)(a) - ax(b)}{(a+bx)^2} = \frac{dy}{dx} + \frac{a^2}{(a+bx)^2}$. अतः,$x \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{a^2}{(a+bx)^2}$. $x \frac{dy}{dx} - y = \frac{ax}{a+bx}$ से,$\left(x \frac{dy}{dx} - y\right)^2 = \frac{a^2 x^2}{(a+bx)^2}$ प्राप्त होता है। इसकी तुलना $x \frac{d^2y}{dx^2}$ से करने पर,$x^3 \frac{d^2y}{dx^2} = x^2 \cdot \frac{a^2}{(a+bx)^2} = \left(x \frac{dy}{dx} - y\right)^2$ प्राप्त होता है।

यदि $(a+bx) e^{\frac{y}{x}}=x$ है,तो $x^3 \frac{d^2 y}{d x^2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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