यदि A = begin{bmatrix} a & 0 & 0 0 & b & 0 | vedclass

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Question

(C) आव्यूह $A$ एक विकर्ण आव्यूह है,इसलिए इसका सारणिक $|A|$ इसके विकर्ण तत्वों का गुणनफल है: $|A| = a 	imes b 	imes c = 7^x 	imes 7^{7^x} 	imes 7^{

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$\frac{7^{7^{7^x}}}{(\log 7)^3} + k$,जहाँ $k$ समाकलन का स्थिरांक है

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(C) आव्यूह $A$ एक विकर्ण आव्यूह है,इसलिए इसका सारणिक $|A|$ इसके विकर्ण तत्वों का गुणनफल है: $|A| = a 	imes b 	imes c = 7^x 	imes 7^{7^x} 	imes 7^{7^{7^x}}$. घातांक के नियम $a^m 	imes a^n = a^{m+n}$ का उपयोग करते हुए: $|A| = 7^{x + 7^x + 7^{7^x}}$. हमें समाकलन $I = \int 7^{x + 7^x + 7^{7^x}} \, dx$ का मान ज्ञात करना है। फलन $f(x) = 7^{7^{7^x}}$ का अवकलन करने पर,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए: $\frac{d}{dx} (7^{7^{7^x}}) = 7^{7^{7^x}} \cdot \log 7 \cdot \frac{d}{dx} (7^{7^x}) = 7^{7^{7^x}} \cdot \log 7 \cdot 7^{7^x} \cdot \log 7 \cdot \frac{d}{dx} (7^x) = 7^{7^{7^x}} \cdot 7^{7^x} \cdot 7^x \cdot (\log 7)^3$. इसलिए,$\frac{d}{dx} \left( \frac{7^{7^{7^x}}}{(\log 7)^3} ight) = 7^{7^{7^x}} \cdot 7^{7^x} \cdot 7^x = |A|$. अतः,$\int |A| \, dx = \frac{7^{7^{7^x}}}{(\log 7)^3} + k$.

यदि $A = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{bmatrix}$ जहाँ $a = 7^x$,$b = 7^{7^x}$,$c = 7^{7^{7^x}}$ है,तो $\int |A| \, dx$ (जहाँ $|A|$ आव्यूह $A$ का सारणिक है) का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 3 \\ 6 & 8 & 7 & \alpha \end{bmatrix}$ की कोटि (rank) $3$ है, तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $y(x) = \left| \begin{array}{ccc} \sin x & \cos x & \sin x + \cos x + 1 \\ 27 & 28 & 27 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right|$,$x \in R$,तो $\frac{d^2 y}{d x^2} + y$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\left| \begin{array}{ccc} 1 + ax & 1 + bx & 1 + cx \\ 1 + a_1x & 1 + b_1x & 1 + c_1x \\ 1 + a_2x & 1 + b_2x & 1 + c_2x \end{array} \right| = A_0 + A_1x + A_2x^2 + A_3x^3$ है,तो $A_1$ का मान ज्ञात कीजिए।

आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 4 & 1 & 4 \end{bmatrix}$ की कोटि (rank) है

मान लीजिए $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 2\cos^2 x & \sin(2x) & -\sin x \\ \sin(2x) & 2\sin^2 x & \cos x \\ \sin x & -\cos x & 0 \end{array} \right|$ है। तो,$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} [f(x) + f'(x)] dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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