यदि int cos ^{frac{3}{5}} x cdot sin ^3 x ,d | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \cos ^{\frac{3}{5}} x \sin ^3 x \,d x$. हम $\sin ^3 x$ को $\sin ^2 x \cdot \sin x = (1 - \cos ^2 x) \sin x$ के रूप में लिख सकते हैं

Vedclass · Accepted Answer

$\left(\frac{8}{5}, \frac{18}{5}\right)$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int \cos ^{\frac{3}{5}} x \sin ^3 x \,d x$. हम $\sin ^3 x$ को $\sin ^2 x \cdot \sin x = (1 - \cos ^2 x) \sin x$ के रूप में लिख सकते हैं। अतः,$I = \int \cos ^{\frac{3}{5}} x (1 - \cos ^2 x) \sin x \,d x$. $I = \int (\cos ^{\frac{3}{5}} x - \cos ^{\frac{13}{5}} x) \sin x \,d x$. माना $\cos x = t$,तो $-\sin x \,d x = dt$,या $\sin x \,d x = -dt$. इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = -\int (t^{\frac{3}{5}} - t^{\frac{13}{5}}) dt = -\int t^{\frac{3}{5}} dt + \int t^{\frac{13}{5}} dt$. $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $I = -\frac{t^{\frac{3}{5} + 1}}{\frac{3}{5} + 1} + \frac{t^{\frac{13}{5} + 1}}{\frac{13}{5} + 1} + c$. $I = -\frac{t^{\frac{8}{5}}}{\frac{8}{5}} + \frac{t^{\frac{18}{5}}}{\frac{18}{5}} + c$. $t = \cos x$ वापस रखने पर: $I = -\frac{1}{\frac{8}{5}} \cos ^{\frac{8}{5}} x + \frac{1}{\frac{18}{5}} \cos ^{\frac{18}{5}} x + c$. दिए गए व्यंजक $\frac{-1}{m} \cos ^{m} x + \frac{1}{n} \cos ^{n} x + c$ से तुलना करने पर,हमें $m = \frac{8}{5}$ और $n = \frac{18}{5}$ प्राप्त होता है। अतः,$(m, n) = \left(\frac{8}{5}, \frac{18}{5}\right)$.

यदि $\int \cos ^{\frac{3}{5}} x \cdot \sin ^3 x \,d x = \frac{-1}{m} \cos ^{m} x + \frac{1}{n} \cos ^{n} x + c$ है,(जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है),तो $(m, n) = $

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