જો n એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોય,તો left( frac{n+1 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપણે અસમતા $\left( \frac{n+1}{2} \right)^n \ge n!$ ને $n \in \mathbb{N}$ માટે ચકાસીએ.$n = 1$ માટે: $\left( \frac{1+1}{2} \right)^1 = 1^1 = 1$ અને

Vedclass · Accepted Answer

$n \ge 1$

Vedclass · Answer

(B) આપણે અસમતા $\left( \frac{n+1}{2} \right)^n \ge n!$ ને $n \in \mathbb{N}$ માટે ચકાસીએ.$n = 1$ માટે: $\left( \frac{1+1}{2} \right)^1 = 1^1 = 1$ અને $1! = 1$. $1 \ge 1$ હોવાથી,વિધાન $n = 1$ માટે સત્ય છે.$n = 2$ માટે: $\left( \frac{2+1}{2} \right)^2 = (1.5)^2 = 2.25$ અને $2! = 2$. $2.25 \ge 2$ હોવાથી,વિધાન $n = 2$ માટે સત્ય છે.$AM$-$GM$ અસમતા મુજબ,$\frac{1+2+\dots+n}{n} \ge \sqrt[n]{n!}$.તેથી $\frac{n(n+1)}{2n} \ge (n!)^{1/n}$,જે $\frac{n+1}{2} \ge (n!)^{1/n}$ આપે છે.બંને બાજુ $n$ ઘાત લેતા,$\left( \frac{n+1}{2} \right)^n \ge n!$ મળે છે,જે તમામ $n \ge 1$ માટે સત્ય છે.

જો $n$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોય,તો $\left( \frac{n+1}{2} \right)^n \ge n!$ ક્યારે સત્ય છે?

Similar Questions

જો $A.P.$ ના $n$ પદોનો સરવાળો $(pn + qn^2)$ હોય,જ્યાં $p$ અને $q$ અચળાંકો છે,તો સામાન્ય તફાવત શોધો.

ધારો કે $x, y > 0$. જો $x^{3} y^{2} = 2^{15}$ હોય,તો $3x + 2y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

જો $\log_3 2, \log_3(2^x - 5)$ અને $\log_3(2^x - \frac{7}{2})$ એ $A.P.$ માં હોય,તો $x$ ની કિંમત શોધો.

જો $\frac{3 + 5 + 7 + \dots + (2n + 1)}{5 + 8 + 11 + \dots + (3n + 2)} = 7$ હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો.

જો $A.P.$,$a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ ના પ્રથમ $11$ પદોનો સરવાળો $0$ $(a_{1} \neq 0)$ હોય,તો $A.P.$,$a_{1}, a_{3}, a_{5}, \ldots, a_{23}$ નો સરવાળો $k a_{1}$ છે,જ્યાં $k$ ની કિંમત શું થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module