यदि {T_n} = frac{{{3^n}}}{{2(n!)}} - frac{1}{ | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि ${T_n} = \frac{1}{2}\left[ {\frac{{{3^n}}}{{n!}} - \frac{1}{{n!}}} \right]$.अतः,श्रेणी का योग ${S_\infty} = \sum_{n=1}^\infty {T_n}

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$\frac{{{e^3} - e}}{2}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है कि ${T_n} = \frac{1}{2}\left[ {\frac{{{3^n}}}{{n!}} - \frac{1}{{n!}}} \right]$.अतः,श्रेणी का योग ${S_\infty} = \sum_{n=1}^\infty {T_n} = \frac{1}{2} \left[ \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n!} - \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!} \right]$ है।हम जानते हैं कि चरघातांकी श्रेणी $e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n!}$ है,जिसका अर्थ है कि $\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n!} = e^x - 1$.प्रथम भाग के लिए,$\sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n!} = e^3 - 1$.द्वितीय भाग के लिए,$\sum_{n=1}^\infty \frac{1^n}{n!} = e^1 - 1 = e - 1$.इन मानों को ${S_\infty}$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:${S_\infty} = \frac{1}{2} \left[ (e^3 - 1) - (e - 1) \right] = \frac{1}{2} (e^3 - 1 - e + 1) = \frac{e^3 - e}{2}$.

यदि ${T_n} = \frac{{{3^n}}}{{2(n!)}} - \frac{1}{{2(n!)}}$ है,तो ${S_\infty } = $

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श्रेणी $\frac{1^2}{1 \cdot 2!} + \frac{1^2 + 2^2}{2 \cdot 3!} + \frac{1^2 + 2^2 + 3^2}{3 \cdot 4!} + \dots + \frac{1^2 + 2^2 + \dots + n^2}{n(n + 1)!} + \dots \infty$ का योग किसके बराबर है?

मान लीजिए $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^3((2n)!) + (2n-1)(n!)}{(n!)((2n)!)} = ae + \frac{b}{e} + c$,जहाँ $a, b, c \in \mathbb{Z}$ और $e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$ है। तो $a^2 - b + c$ का मान $................$ है।

$1 - \log 2 + \frac{(\log 2)^2}{2!} - \frac{(\log 2)^3}{3!} + \dots$ का मान है

$1 + \frac{2}{3!} + \frac{3}{5!} + \frac{4}{7!} + \dots \infty = \,$

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