જો $2a + b + 3c = 0$ હોય,તો રેખા $ax + by + c = 0$ કયા નિશ્ચિત બિંદુમાંથી પસાર થાય છે?

જો રેખા $y = \sqrt{3}x$ એ વક્ર $x^3 + 3y^2 + 4x + 5y - 1 = 0$ ને બિંદુઓ $A, B, C$ માં છેદે,તો $OA \cdot OB \cdot OC$ ની કિંમત શોધો.

$x=2y$ રેખા પરના બિંદુઓમાંથી $x=y$ રેખા પર દોરવામાં આવેલા લંબના મધ્યબિંદુઓનો બિંદુપથ શોધો.

શિરોબિંદુઓ $A(2,1)$,$B(0,0)$ અને $C(t,4)$ વાળા ત્રિકોણો ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $t \in [0,4]$. જો આવા ત્રિકોણોની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ પરિમિતિ અનુક્રમે $t=\alpha$ અને $t=\beta$ પર મળે,તો $6\alpha + 21\beta$ ની કિંમત $.........$ થાય.

ધારો કે $A(2, 3)$ અને $B(-4, 5)$ બે નિશ્ચિત બિંદુઓ છે. જો બિંદુ $P(x, y)$ એવી રીતે ગતિ કરે છે કે જેથી $\Delta PAB$ નું ક્ષેત્રફળ $12$ ચોરસ એકમ થાય,તો $P$ નો બિંદુપથ શોધો.

$x-y$ સમતલમાં એક બિંદુ એવી રીતે ગતિ કરે છે કે જેથી બે પરસ્પર લંબ રેખાઓથી તેના અંતરનો સરવાળો હંમેશા $3$ રહે છે. બિંદુના બિંદુપથ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ ............... $unit^{2}$ છે.