यदि x, y, z तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांक हैं, | vedclass

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Question

(B) चूंकि $x, y, z$ तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांक हैं,इसलिए $y = x + 1$ और $z = x + 2$,जिसका अर्थ है $z - x = 2$.साथ ही,$2y = x + z$,जो दर्शाता है कि $

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$\log_e y$

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(B) चूंकि $x, y, z$ तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांक हैं,इसलिए $y = x + 1$ और $z = x + 2$,जिसका अर्थ है $z - x = 2$.साथ ही,$2y = x + z$,जो दर्शाता है कि $y^2 = xz + 1$ (क्योंकि $y^2 - xz = (x+1)^2 - x(x+2) = 1$).माना $S = \frac{1}{2}\log_e x + \frac{1}{2}\log_e z + \sum_{n=1, 3, 5, \dots} \frac{1}{n} \left( \frac{1}{2xz + 1} \right)^n$.लघुगणकीय श्रेणी विस्तार $\frac{1}{2} \log_e \left( \frac{1+u}{1-u} \right) = u + \frac{u^3}{3} + \frac{u^5}{5} + \dots$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = \frac{1}{2xz+1}$.$S = \frac{1}{2} \log_e (xz) + \log_e \left( \frac{1 + \frac{1}{2xz+1}}{1 - \frac{1}{2xz+1}} \right) = \frac{1}{2} \log_e (xz) + \log_e \left( \frac{2xz+2}{2xz} \right) = \frac{1}{2} \log_e (xz) + \log_e \left( \frac{xz+1}{xz} \right)$.$S = \frac{1}{2} \log_e (xz) + \log_e (xz+1) - \log_e (xz) = \log_e (xz+1) - \frac{1}{2} \log_e (xz) = \log_e (y^2) - \frac{1}{2} \log_e (xz)$.चूंकि $xz = y^2 - 1$,यह सरल होकर $\log_e y$ हो जाता है।

यदि $x, y, z$ तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांक हैं,तो $\frac{1}{2}\log_e x + \frac{1}{2}\log_e z + \frac{1}{2xz + 1} + \frac{1}{3}\left( \frac{1}{2xz + 1} \right)^3 + \dots = $

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$1 + \frac{(\log_e n)^2}{2!} + \frac{(\log_e n)^4}{4!} + \dots = $

$\log_e x - \log_e (x - 1) = $

श्रेणी का योग ज्ञात कीजिए: $\log_e \frac{4}{5} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4} \right)^2 + \frac{1}{3} \left( \frac{1}{4} \right)^3 - \dots$

$\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{2(x + 1)^2} + \frac{1}{3(x + 1)^3} + \dots \infty = $

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