જો $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}, \bar{d}$ એકમ સદિશો હોય કે જેથી $\bar{a} \cdot \bar{b} = \frac{1}{2}$,$\bar{c} \cdot \bar{d} = \frac{1}{2}$ અને $\bar{a} \times \bar{b}$ તથા $\bar{c} \times \bar{d}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{6}$ હોય,તો $|[\bar{a} \bar{b} \bar{d}] \bar{c} - [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] \bar{d}| = $ ની કિંમત શોધો.

જો $\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $3\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}$, $\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}$ અને $5(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ હોય, તો $A$ માંથી બાજુ $BC$ પર દોરેલા વેધનું માન શોધો.

ત્રિકોણ $ABC$ માટે, ધારો કે $\vec{p}=\vec{BC}$, $\vec{q}=\vec{CA}$ અને $\vec{r}=\vec{BA}$. જો $|\vec{p}|=2\sqrt{3}$, $|\vec{q}|=2$ અને $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ હોય, જ્યાં $\theta$ એ $\vec{p}$ અને $\vec{q}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે, તો $|\vec{p} \times (\vec{q}-3\vec{r})|^{2}+3|\vec{r}|^{2}$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $\overrightarrow{a}$ એ બે સમતલોના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાને સમાંતર એક શૂન્યતર સદિશ છે,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને અનુક્રમે $(\hat{i}+\hat{j}, \hat{i}+\hat{k})$ અને $(\hat{i}-\hat{j}, \hat{j}-\hat{k})$ સદિશો ધરાવે છે. જો $\theta$ એ સદિશ $\vec{a}$ અને સદિશ $\vec{b}=2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$ વચ્ચેનો ખૂણો હોય અને $\vec{a} \cdot \vec{b}=6$ હોય,તો ક્રમયુક્ત જોડ $(\theta, |\vec{a} \times \vec{b}|)$ ની કિંમત શોધો.

ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માટે,જો $\vec{BC} = \vec{a}$,$\vec{CA} = \vec{b}$ અને $\vec{AB} = \vec{c}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સત્ય છે?

જો $\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{OA} = 3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$,$\vec{OB} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{OC} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ હોય,તો $A$ માંથી દોરેલા $\triangle ABC$ ના વેધની લંબાઈ શોધો.