यदि bar{a}+bar{b}, bar{b}+bar{c}, bar{c}+bar{ | vedclass

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Question

(D) एक समांतर षट्फलक का आयतन जिसके किनारे $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ हैं,अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} 	imes

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$2[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$

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(D) एक समांतर षट्फलक का आयतन जिसके किनारे $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ हैं,अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} 	imes \vec{w})$ द्वारा दिया जाता है।यहाँ,$\vec{u} = \bar{a}+\bar{b}$,$\vec{v} = \bar{b}+\bar{c}$,और $\vec{w} = \bar{c}+\bar{a}$ है।आयतन $= (\bar{a}+\bar{b}) \cdot [(\bar{b}+\bar{c}) 	imes (\bar{c}+\bar{a})]$$= (\bar{a}+\bar{b}) \cdot [(\bar{b} 	imes \bar{c}) + (\bar{b} 	imes \bar{a}) + (\bar{c} 	imes \bar{c}) + (\bar{c} 	imes \bar{a})]$चूंकि $\bar{c} 	imes \bar{c} = 0$,इसलिए:$= (\bar{a}+\bar{b}) \cdot [(\bar{b} 	imes \bar{c}) + (\bar{b} 	imes \bar{a}) + (\bar{c} 	imes \bar{a})]$$= \bar{a} \cdot (\bar{b} 	imes \bar{c}) + \bar{a} \cdot (\bar{b} 	imes \bar{a}) + \bar{a} \cdot (\bar{c} 	imes \bar{a}) + \bar{b} \cdot (\bar{b} 	imes \bar{c}) + \bar{b} \cdot (\bar{b} 	imes \bar{a}) + \bar{b} \cdot (\bar{c} 	imes \bar{a})$अदिश त्रिक गुणनफल के गुणधर्म के अनुसार यदि कोई दो सदिश समान हों तो मान शून्य होता है:$= [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 0 + 0 + 0 + 0 + [\bar{b} \bar{c} \bar{a}]$चूंकि $[\bar{b} \bar{c} \bar{a}] = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$,इसलिए आयतन $= [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 2[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$.

यदि $\bar{a}+\bar{b}, \bar{b}+\bar{c}, \bar{c}+\bar{a}$ एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) के किनारे हैं,तो इसका आयतन क्या होगा?

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$[\hat{i}-\hat{j}, \hat{j}-\hat{k}, \hat{k}-\hat{i}]$ का मान ज्ञात कीजिए।

$i \cdot(j \times k)+j \cdot(k \times i)+k \cdot(j \times i)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ तीन असमतलीय सदिश हैं और $\vec{r}$ कोई सदिश है,तो $[\vec{b} \, \vec{c} \, \vec{r}] \vec{a} + [\vec{c} \, \vec{a} \, \vec{r}] \vec{b} + [\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{r}] \vec{c} = \dots$

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